TEOREMAS J.C.G.I

Teoremas de J.C.G.I

    Las Matemáticas son la rama más exacta de la Filosofía, son por lo tanto una ciencia deductiva, no una ciencia experimental; se fundamenta en verdades evidentes y/o demostradas previamente, es decir en axiomas y teoremas.

   Para la demostración de los teoremas que se deducen a continuación se parte de los axiomas y teoremas :

   Axioma : las longitudes de los lados de los triángulos, imponen :

 

L₁ ≥ L₂ ≥ L₃

 

 

   Axioma : Las unidades de longitud, (números), que cuantifican las longitudes son

L₁ = dⁿ, L₂ = f^m, L₃ = g^p

   Teorema demostrado : El teorema del coseno demuestra las relaciones de las unidades de longitud de los lados de todos los triángulos. 

    Teorema deducido del de Pitágoras : con las palabras, “seno de un ángulo” y “coseno del mismo ángulo”, se define al conjunto de números definidos por el cociente de un cateto dividido por la hipotenusa :

Cos.β = cateto adyacente/hipotensa

Sen.β = cateto opuesto/hipotenusa

   De la ecuación aritmética, con la hipotenusa = “a unidades de longitud“, cateto adyacente = “b unidades de longitud” y cateto opuesto = “c unidades de longitud” :

A = a²·(cos².β + sen².β) = a² =  b² + c² = B + C  → (cos².β + sen².β) = 1

se deduce que los números, ”a”, “b”, y “c” , son raíces cuadradas de enteros :

cos.a = ²√B/²√A     sen.a = ²√C/²√A

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 Ecuación que relaciona las unidades de longitud de todos los triángulos :

(dⁿ)² = (f^m)² + (g^p)² ± 2·f^m·g^p·cos.φ 

de la que se deduce :

cos.φ =  ((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²)/2· f^m·g^p

de la que se deduce que  numerador y denominador son cuadrados de raíces cuadradas de enteros y por lo tanto “enteros”.

   Como todos los enteros son raíces de enteros mayores, es evidente que la ecuación se verifica pudiendo ser, (dⁿ , f^m , g^p), tres enteros, tres irracionales, dos enteros y un irracional o un irracional y dos enteros.

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación :

   d²ⁿ = f^2m + g^2p ± 2·f^m·g^p·cos.φ

tiene infinitas soluciones con “d”, “f” y “g” enteros

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   ¿Qué ocurre cuando : j = 90º?

cos. 90º =  ((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²)/2· f^m·g^p

((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²) = 0

comparémosla con la ::

a² – b²  – c² = 0

de donde se deduce que la terna : ((dⁿ) ;  (f^m) ;  (g^p)), no puede estar formada por tres enteros, al menos uno, o dos son irracionales, de la forma :

(dⁿ = (d^q·√a)² ; f² = (f^t·√f)²   ; g²)  (1) 

(dⁿ = (d^q·√a)² ; f² ; g²)    (2)

(d²; (f^t·√f)² ; g²)   (3)

(d² ; (f^t·√f)² ; (g^w·√g)² )  (4)

con índices : (q. t, w) ³ 1

   Es evidente que en (1) : a = d^q·√a ;  b = f^t·√f)  y  c = g.

   Es evidente que en (2) : a = d^q·√a ;  b = f  y  c = g.

   Es evidente que en (3) : d = a ; b = (f^t·√f)   y  c = g.

   Es evidente que en (4) : d = a ; b = (f^t·√f)   y  c = (g^w·√g)

 

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE BEAL

   La ecuación :

(dⁿ)² = (f^m)² + (g^p)²

es posible con “d”, “f” y “g” enteros, si uno de los índices : “n”, “m” o “p” es uno. 

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   Si los índices son los mismos :

(d^m)² = (f^m)² + (g^m)² ± 2·f^m·g^m·cos.φ

cos.φ = (d^2m – f^2m – g^2m)/ 2f^m·g^m

   ¿Qué ocurre cuando : φ = 90º?

cos.90º = (d^2m – f^2m – g^2m)/ 2f^m·g^m

es evidente que si : “d”, “f” y “g”, son enteros :

cos.ô = f/d    y    sen.δ = g/d

cos^m.δ = f^m/d^m    y    sen^m.δ = g^m/d^m

1 = (cos².β + sen².β) = (cos².δ + sen³.δ) > (cos^2m.δ + sen^2m.δ)

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE FERMAT

   Son imposibles ecuaciones con enteros, si, m  >1 :

d^2m = f^2m + g^2m

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cos. 90º = 0  = ((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²)/2· f^m·g^m

((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²) = 0

(a² – b²  – c²) = 0   → ((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²) ¹ 0

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE FERMAT

   Son imposibles ecuaciones con enteros, si, m  >1 :

d^2m = f^2m + g^2m

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    Veamos ahora como se verifica en los distintos triángulos.

   Equiláteros :  Si los lados se cuantifican con potencias, tanto de enteros como de irracionales, se verifica siempre la ecuación :

 (a^m)² = (a^m)² + (a^m)² – 2·a^m·a^m·cos.60º = a^2m

   Si están cuantificadas por el número “pi”, también se verifica la ecuación :

pi^2m = pi^2m + pi^2m – 2·pi^m·pi^m·cos.60º

CONCLUSIÓN = TEOREMA

    Las longitudes de las lados de los triángulos equiláteros, pueden estar cuantificadas tanto por potencias de números enteros como de  irracionales, incluso por potencias del número “pi”

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 Isósceles :                         (aⁿ)² = 2(b^m)² ± 2·b^2m·cos.φ

cos.φ = (a²ⁿ – 2b^2m)/2b^2m

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación es posible con potencias de enteros y con potencias de raíces cuadradas de enteros.

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  Isósceles y rectángulo :

(a^m)² = 2(b^m)² ± (2·b^2m·cos.90º = 0)

a = 2^1/n·b

 CONCLUSIÓN = TEOREMA

   Es evidente que esta igualdad sólo es posible con un entero.

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   Escalenos, con el mismo índice, Teorema de Fermat :      

(a^m)² = (b^m)² + (c^m)² ± 2·b^m·c^m·cos.φ

cos.φ = (a^2m – b^2m – c^2m)/ 2b^m·c^m

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación es posible con potencias de enteros y con potencias de raíces cuadradas de enteros.

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Ejemplo con : (n = 3), (m = 3), (p = 2) 

(8·√8)² = (7·√7 )² + 13² = 512  (1)

8³ = 7³ + 13²   (1a)

   Ejemplo con : (n = 2), (m = 2), (p = 3) 

29² = 25² + (6·√6)²  = 841 (3)

29² = 25² + 6³  (3a)

   3² = (2·Ö2)² + 1² = 9  (E. de Catalán)

3² = 2³ + 1 (Ea)

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   Las ecuaciones : (1). (3) y la de Catalán son geométricas y aritméticas, pero las : (1a), (3ª) y (Ea), sólo son aritméticas.

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CONCLUSIÓN = NO TEOREMA

    El triángulo es el gran desconocido de los matemáticos