seis demostraciones de la C. de Fermat
Seis demostraciones de la Conjetura de Fermat
(tengo algunas más)
Pierre Fermat afirmó tener una demostración maravillosa de que es imposible con tres números enteros la ecuación : an = bn + cn, con un índice superior a n = 2.
Fermat era una persona inteligente, por tanto no se engañó, ni quiso engañar a nadie; sabemos que solía resolver un problema y en vez de enviar la solución a sus contemporáneos, les enviaba el problema y les comunicaba que había le había resuelto, lo cual a alguno le “cabreaba” sobremanera.
Teniendo en cuenta esta manera de actuar, no es de extrañar que no dejara escrita su demostración, lo que me hizo pensar que se puede encontrar esa demostración, buscando donde encontró lo que le pudo llevar a esa demostración; yo creo que fue en el libro de Diofanto, en cuyo margen enunció su afirmación, yo pienso que fue buscando los corolarios del T. de Pitágoras, pues varios conducen a su afirmación.
Vamos a exponer en primer lugar el T. de Marcelo.
Ecuación de Marcelo y Teorema de Marcelo
El T. de Marcelo demuestra por que la ecuación con números enteros :
an = bn + cn + dn
es posible con superíndices mayores que uno y dos, pero es imposible con más cuatro números si los cuatro son mayores que uno.
Sean : “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “f”, etc. números tales que a > b > c > d > e > f > ··· > 1; es evidente que con todos estos números podemos establecer las ecuaciones :
b/a = p, c/a = q, d/a = s, e/a = t, f/a = u, etc
bn/an = pn, cn/an = qn, dn/an = sn, en/an = tn, fn/an = un, etc
an(pn + qn + sn + tn + un + ····) = bn + cn + dn + en + fn + ···
Esta ecuación se verifica con todos los números, (a,b,c,d,e,f, ··), y sus potencias; es una de las ecuaciones más importantes de la aritmética.
Si en esta ecuación imponemos que todos los números, (a,b,c,d,e,f, ··), sean enteros es evidente, para un alumno, que esta ecuación es la misma que la trigonométrica :
an(cosn.a + cosn.β + cosn.δ + cosn.ζ + cosn.θ + cosn.····) = bn + cn + dn + en + fn + ··
Para que sea posible la ecuación : an = bn + cn + dn + en + fn + ···
es preciso que :
(pn + qn + + sn + tn + ····) = (cosn.a + cosn.b + cosn.c + cosn.d + cosn.e + cosn.····) = 1
Variables numéricas independientes hay infinitas, pero no son ortogonales.
Es evidente, para un matemático, que en un sistema de ejes cartesianos las variables lineales sólo son cuatro, (x,y,z,r), las tomadas en los ejes cartesianos (x, y, z) son independientes y ortogonales, mientras “r” puede variar en todas las direcciones y siempre cada dirección forma un ángulo con cada uno de los ejes cartesianos, si tomamos en tres direcciones distintas : r1 = a (udl), metros por ej., forma con el eje X un ángulo “a” y a·cos.a = b (udl); r2 = r1 = a (udl), forma con el eje Y un ángulo “β”, a·cos.β = c (udl); r3 = r1 = a (udl), forma con Z el ángulo “δ”, a·cos.δ = d, siempre :
an(cosn.a + cosn.β + cosn.δ) = bn + cn + dn
Es evidente que : 0 < (cosn.a + cosn.β + cosn.δ) < 3, y que los cocientes lo son de enteros, (en la escuela nos enseñaron a sumar “quebrados”) y esa suma pudiera ser el número uno, por tanto, aunque no se conocieran soluciones con n > 1, no podría afirmarse que no las hay, pero se conocen soluciones, además de con n = 1 y n = 2, con n = 3 y con n = 4 y no se puede afirmar que no las hay con n > 4.
Lo que si se puede afirmar es que “es imposible la ecuación” :
an = bn + cn + dn + en + fn + ··· (T. de Marcelo)
con más de cuatro enteros, si a > b > c > d > e > f > ········ > 1;.
Es imposible la ecuación : an = bn + cn + dn + en
pero es posible la an = bn + cn + dn + 1n con n > 1 (T. de Marcelo).
Las soluciones aritméticas del T. de Pitágoras son, evidentemente, las del T. de Marcelo, con tres enteros, ( a, b, c), y n = 2 :
a2 = b2 + c2
(a,b,c) forman una terna de enteros pitagóricos, por tanto .
a2(cos2.a + cos2.β ) = a2(cos2.a + sen2.a ) = a2(sen2.β + sen2.β) = a2 = b2 + c2
Hay que destacar que en el plano cartesiano todas las direcciones de “r” forman con los dos ejes ángulos complementarios, por lo que cualquiera que sea la dirección de “r”, siempre : cos.a = sen.β, y a + β = 90º, pero en el espacio no ocurre lo mismo, la ecuación de Marcelo en el plano es :
an(cosn.a + cosn.β) = an(cosn.a + senn.β) = bn + cn ≠ an (C. De Fermat)
si n > 2, (cosn.a + senn.a) < 1 = cos2.j + sen2.j
por otra parte al ser :
bn/an + cn/an = an/an = 1 = sen2.j + cos2.j = sen2.a + cos2.a = cos2.a + cos2.β
es evidente que : sen2.j = cosn.a < cos2.a y cos2.j = cosn.β < cos2.β por tanto tendría que ser :
sen2.j + cos2.j = cosn.a + cosn.β < cos2.a + cos2.β = sen2.a + cos2.a = sen2.β + cos2.β lo que es imposible si n > 2, por lo que la terna : (an/2, bn/2, cn/2), no puede ser una terna de enteros pitagóricos y por tanto no pueden ser enteros los tres. (C. de Fermat)
La única terna posible de enteros con (an/2), es (an/2 , b·a(n-2)/2 , c·a(n-2)/2)
terna que verifica la ecuación : an = b2·a(n-2) + c2·a(n-2)
Fijémonos en estas tres ecuaciones :
a2 = b2 + c2 (T. de Pitágoras)
an = b2·a(n-2) + c2·a(n-2) (T. de Pitágoras)
an = bn + cn (C. de Fermat)
Si dividimos las dos primeras por “ a2 “ y “an ”, respectivamente, tenemos :
a2/a2 = b2/a2 + c2/a2 = 1 = sen2.a + cos2.a
y an/an = b2·a(n-2)/an + c2·a(n-2)/an = b2/a2 + c2/a2 = 1 = sen2.a + cos2.a
obtenemos la misma ecuación, los ángulos son LOS MISMOS; sin embargo si dividimos la tercera por “an ”, obtenemos el mismo número, (el uno), pero no la misma ecuación, ya que a ≠ j.
an/an = bn/an + cn/an = 1 = sen2.j + cos2.j
por otra parte es evidente que la triple igualdad :
sen2.j + cos2.j = senn.a + cosn.a = sen2.a + cos2.a = 1
es imposible si n ≠ 2, ya que siempre :
sen2.j + cos2.j = sen2.a + cos2.a = 1
senn.a + cosn.a < sen2.a + cos2.a = 1
Es evidente que los números (a, b, c) y los (an/2 , b·a(n-2)/2 , c·a(n-2)/2) pueden ser ternas de enteros pitagóricos, pero NO la terna (an/2, bn/2, cn/2). (C. de Fermat)
Si imponemos (a y b) enteros la ecuación impone que “c” sea irracional, para que los números (an/2, bn/2, cn/2) cuantifiquen las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
··················
Si imponemos que (a, b, c) sean enteros, los números (an/2, bn/2, cn/2) cuantifican las longitudes de los lados de un triángulo NO rectángulo y siempre .
an ± 2·bn/2·cn/2· cos.v = bn + cn
an(cosn.a + cosn.β) = bn + cn = an ± 2·bn/2·cn/2· cos.v
ecuación perfectamente posible con enteros y que cuando :
2·bn/2·cn/2· cos.v = 1
explica que sea posible encontrar soluciones, con enteros y con n > 2, de la ecuación :
an = bn + cn ± 1 ≠ bn + cn (C. De Fermat)
···················
Es evidente que todos los triángulos, que tienen como base la longitud del diámetro de una circunferencia y “j” el ángulo opuesto al diámetro “d”, pueden tener sus vértices : en la circunferencia, en el interior y en el exterior.
Si el vértice está en la circunferencia son rectángulos y si : d = a (metros p.ej.) y los catetos son de longitudes : L = b y L1 = c, la terna angular es (j = 90º, a, β), siempre :
a·cos.a = a·sen.β = b, an·cosn.a = an senn.β = bn
a·cos.β = a·sen.a = c, an·cosn.β = a·senn.a = cn
Si el vértice está en el interior de la circunferencia : j > 90º y siempre :
a·cos.a1 > b1 , an · cosn.a1 > b1n y a·cos.β1 > c1 , an·cosn.β1 > c1n
Si el vértice está fuera de la circunferencia : j < 90º y siempre :
a·cos.a2 < b2 , an·cosn.a2 < b2n y a·cos.β2 < c2 , an·cosn.β2 < c2n
En todos los triángulos tenemos :
1º) Si j = 90º an(cosn.a + cosn.β) = bn + cn
2º) Si j > 90º an(cosn.a1 + cosn.β1) > b1n+ c1n
3º) Si j < 90º an(cosn.a2 + cosn.β2) < b2n + c2n
Si j = 90º, tenemos una ecuación que se verifica con todos los valores del diámetro y con todos los catetos posibles de los innumerables triángulos rectángulos posibles y con TODOS LOS VALORES DE “n > 1”.
Si observamos la ecuación comprobamos que, como cos.β = sen.a, es “la misma” que :
an(cosn.a + senn.a) = bn + cn
por tanto la ecuación : an = bn + cn sólo es posible si : (cosn.a + senn.a) = 1
Es evidente, para cualquier persona que haya aprendido el T. de Pitágoras, que esta ecuación sólo es posible si n = 2 y que es posible con tres enteros.
En los otros dos casos aunque : b1. c1, y b2, c2 sean enteros, y lo pueden ser con parejas de enteros menores que “a”, las igualdades :
an = b1n + c1n y an = b2n + c2n
son imposibles, para todos los valores de “n”, incluidos : n = 1 y n = 2. (C. de Fermat)
¿ podría ser, una de éstas, la maravillosa demostración que dijo tener Fermat?
Analicemos también la ecuación :
sen2.a + cos2.a = 1
Esta ecuación es un COROLARIO del T. de Pitágoras, por tanto no es un invento de un iluminado o un alquimista.
Si fuera verdad que la derivada del seno de un ángulo es el coseno del mismo ángulo, sería evidente que :
2·sen. a·cos.a + 2·cos.a·sen.a = 0
ya que la derivada de “1” y de todos los números es cero, pero :
4· sen. a·cos.a
sólo puede ser cero, si a = 90º, y en este caso a = b y no hay, ni ángulo ni triángulo, para todos los ángulos es un número mayor que cero.
Es más que evidente que las funciones angulares , sen. , cos. , tg y cotg, son números, ya que son cocientes de dos longitudes situadas en rectas diferentes que forman un ángulo, y por tanto funciones discontinuas, que no se pueden ni derivar, ni integrar, por lo que el cálculo infinitesimal aplicado a ellas es una barbaridad y todo el mundo admite la integración y derivación de estas funciones; ¿se puede ser matemático con desconocimientos como éste?.
De este corolario se deduce que sen.a y cos.a son siempre el cociente de dos raíces cuadradas de números enteros y cuando esas raíces cuadradas son enteros tenemos una terna de enteros pitagóricos, en los demás casos siempre hay al menos una raíz cuadrada que es un número irracional.
Analicemos las ecuaciones
L = 2·pi·r y r2 = x2 + y2
La 1ª es la ecuación (fórmula) que nos da la longitud de la circunferencia, cada valor que tome “r” nos da la longitud de una circunferencia distinta y la 2ª es la ecuación de Pitágoras y de Marcelo, que nos relaciona la distancia de un punto al origen de coordenadas con las coordenadas de ese punto, que forman un triángulo rectángulo, pero no es la ecuación de una circunferencia, aunque es evidente que todos y cada uno de los puntos del plano, menos el origen de coordenadas, se encuentran en alguna circunferencia, con centro en el origen de coordenadas, por tanto no es la ecuación de ninguna circunferencia.
Hay que destacar que en la primera ecuación tenemos dos longitudes : “L” y “r”, y en la segunda tres : “r”, “x” e “y”, por otra parte en la primera tenemos el número “2” y la letra “pi”, que es un símbolo adoptado y asumido por todo el mundo, como símbolo de un número, la pregunta que yo me hago a mi mismo y al resto del mundo es : ¿Es verdad que “pi” es un número?
1ª consideración
Si es un número, parece evidente que como todos los números se pueden multiplicar por si mismos y por todos los demás números, además todos, menos el uno, son potencias y raíces de otros números deben existir las potencias y las raíces de “pi”; en este caso es evidente que como la superficie del círculo es :
S = π·r2, debe existir la raíz cuadrada de “pi”, en cuyo caso debe existir un cuadrado cuyos lados miden : L= r·√pi, en este caso la cuadratura del círculo es evidente.
2ª Consideración
Es evidente que si tomamos en una recta, que es un concepto continuo, un segmento de 3,15 metros, el valor de pi es tal que : 3,14 < pi < 3,142, por tanto como existe la longitud de “pi” unidades, (metros p.ej.), es evidente que existen las longitudes de √pi y de pin (metros), por tanto existe el cuadrado de lados : L = r·√pi, cuya superficie es exactamente igual a la del círculo de radio “r”.
3ª consideración
Si la longitud de la circunferencia es la integral :
L = ∫r·da = 2·pi·r
Parece más que evidente que pi = 180º, es decir un ángulo y no un número.
¿Una longitud multiplicada por un ángulo puede ser una longitud?, parece evidente que no y también parece evidente que la longitud de la circunferencia y el número “pi” se calcularon a partir de la longitud del perímetro de polígonos regulares inscritos en la circunferencia y no integrando la función L = ∫r·da, claro que resulta muy fácil caer en la tentación, al conocer que L = 2·pi·r2, de creer que integrando se obtiene el mismo resultado y admitir que pi = 180º, pero 180º es un ángulo y no un número.
4ª consideración :
Es evidente que si el volumen de la esfera, calculado mucho antes de conocerse el cálculo integral, es : V = 4·pi·r3/3 y V’ = S = 4·pi·r2 y V” = S´ = L = 8·pi·r, y L´ = 8·pi es evidente que 8·pi, sólo puede ser un número.
¿El valor de “pi” en el plano es de 180º? y en tres dimensiones, el de la esfera sería 4·pi, por tanto pi = 360º y el correspondiente a cada octante, el limitado por los tres planos cartesianos, sería 45º; hay que tener mucha fe, para creer algo más complicado que el misterio de la trinidad.
Las mal llamadas matemáticas modernas parecen más bien cosas de alquimistas, que de verdaderos matemáticos; recuerdo cuando en 5º de bachillerato, pregunté en clase : ¿Por qué la derivada de y = x2 es y’ = 2x?, el profesor, que no era matemático, me contestó que alguien mucho más preparado que él lo había descubierto, por lo que tenía que ser cierto.
Cuando en la universidad lo volví a preguntar y me lo explicaron a partir de :
y = xn y de y + dy = (x + dx)n = xn + nxn-1dx + ····· + nx(dx)n-1 + (dx)n
dy = nxn-1dx + e y que e = 0, por lo que dy = nxn-1·dx
me quedé pasmado de tal barbaridad, pero me acordé del hermano Florencio (marista y el mejor profesor que he conocido), que me dijo, por que yo le hacía muchas preguntas, cuando estés en instituto o en la universidad y preguntes, aunque no estés de acuerdo con el profesor, finge haberlo entendido, pues sólo se puede discutir con personas inteligentes, pero el sentido común es el menos común de los sentidos.
Las matemáticas son una ciencia, pero no una ciencia experimental; para su desarrollo no se necesitan laboratorios, basta con el sentido común = inteligencia, que es muy poco común en esta especie tan petulante que se auto define “Homo Sapiens Sapiens”.
FALACIAS ADMITIDAS COMO AXIOMAS
Es una falacia que “cero e infinito” son números, pues no cumplen con las condiciones del concepto número :
1ª) Todos los números decimales, enteros o no, se pueden sumar y el resultado de la suma es un número decimal mayor que los dos sumandos; esta condición no la cumplen ni el concepto cero, ni el concepto infinito.
2ª) De todos los números decimales se pueden restar todos los números decimales menores y el resultado de la resta es un número menor y decimal; esta condición tampoco la cumplen.
4ª) Todos los números decimales se pueden multiplicar por si mismos y por todos los demás decimales y el resultado de la multiplicación es un número decimal; esta condición tampoco la cumplen, por tanto no puede ser un numero decimal ninguno de los dos conceptos.
5ª) El cociente de dos números decimales puede ser un decimal o un número fuera de la base, pero nunca cero ni infinito, p.ej.12/3 = 4; 1/31 = ¿?
Nunca 1/N , por grande que sea “N”, es cero; cero es el límite al que nunca se puede llegar, por tanto no es un número.
6ª) Todos los números decimales son potencias y raíces de otros números, excepto el número uno que es potencia y raíz de si mismo, por tanto cero no es la raíz ni la potencia de un número.
Entonces ¿que es el “cero”?, el cero es el origen de los números, también es el origen de las longitudes, de las superficies, de los volúmenes y de los ángulos, el cero es la negación de la existencia de conceptos matemáticos, equivale a “nada” para conceptos materiales, pero su símbolo colocado detrás de cualquier entero es el símbolo de un entero diez veces superior; quizás sería más práctico : ,25 que 0,25.
Hay que tener claro que los símbolos no son números, los símbolos son tiza, tinta, grabaciones, etc, por tanto masa, mientras que los números son inmateriales, desgraciadamente son demasiados los que confunden los símbolos con los números.
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