Los números primos y la conjetura de Goldbach

Los números primos y la conjetura de Goldbach

    Como todos los teoremas, hay varios itinerarios, para su demostración, uno relativo a los números primos, (simples), menores a un número par, elegido al azar, o simplemente elegido, se expone a continuación y de él, se deduce el teorema de Goldbach.

 

   En una carta dirigida a Euler y fechada el 7 de Junio de 1742, Christian Goldbach (1690-1764) afirmaba haber observado que todo número par mayor que 2 podía escribirse como suma de dos primos, (simples), ; 

    AXIOMAS :

    1º) Es evidente que la cantidad de números es ilimitada y que no se pueden calcular cuantos números simples hay.

   2º) Los impares son simples y compuestos.

   2º) Todos los números pares, excepto el dos, son números compuestos.

   3º) El total de impares, menores que cualquier número par, es la suma de los números compuestos, más los simples.

   4º) Los compuestos son, las potencias de números simples, productos de números simples por números simples, productos de simples por compuestos y de compuestos por compuestos.

   5º) ¡Se pueden calcular los números compuestos, menores que cualquier número par?.

¡Es evidente que si!

   a) Cualquiera que sean tres números pares, consecutivos, uno de ellos es múltiplo de tres.

   b) Los imperes, múltiplos de tres, son uno de cada seis, los de cinco, uno de cada diez, los de siete, uno de cada catorce, etc.

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   Podemos escoger cualquier número par, para calcular los números simples y compuestos, menores que él.

   Por ejemplo, el 10,000.

    Los compuestos que son potencias, menores que 10,000, son :

(5² ; 5³ ; 5⁴ ; 5⁵ ; 7² ; 7³ ; 7⁴ ; 11² ; 11³, 13², 13³)

11 Números compuestos

 Observemos la terna :

9998   10,000   10,002

   Los impares menores de 10,000, son 5,000.

   Los Impares compuestos, menores que los números 10,000 y 10,002, son los mismos; de éstos, divisibles por “3”, uno de cada seis :

10.002/6 = 1.667  (1,666 compuestos + el “3”, simple)

(9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99.···9999· ), (1,666)

    Entre los impares compuestos, menores de 10,000 están los que son múltiplos de “5”,  “7”, “11”, “13”, etc, pero no de 3

Múltiplos de “5” que no lo son de ”3” .

5·( 7, 11, 13, 17, 19. ·····)

Múltiplos de 7, que no lo son de 3 y de 5

7·(11,13,17, 19,  ·······)

Múltiplos de 11, que no lo son de 3, 5 y 7 )

11·(13,17, 19,  ·······)

etc, ; etc ; etc ;

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   Para demostrar que  se pueden encontrar todos los números simples menores que cualquier número par, no hace falta un número par grande, podemos escoger cualquiera, desde el número 6.

   Es evidente que : 6/6 = 1 y 1 – 1 = 0,

   ¿No hay ningún múltiplo de tres, por lo tanto los números :

1, 3, 5

que son menores que seis, son números simples.

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   Analicemos el número 18 :

18/6 = 3 ( 2 compuestos, el 9 y el 15)

18/2 = 9 impares ; 9 – 2 = 7 simples

(1,3,5,7,11,13,17)  (9 y 15)

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   Vamos a estudiar el número 30, por la sencilla razón  de que hay una potencia, menor que  30.

5² = 25 < 30

30/6 = 5 ; 5 – 1 = 4

5 compuestos y 10 simples

(9, 15, 21, 27, 25)   y   (1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)

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   Estudiemos el número 100 :

98 ; 100 ; 102

   Los impares menores de 100, son 50.

  Compuestos que son potencias de simples : 5² y 7² (2)

   Los Impares, compuestos de los números 100 y 102, son los mismos, de éstos, divisibles por “3”, uno de cada seis :

102/6 = 17  (16 compuestos + el “3”, simple)

(9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99), (16)

    Entre los impares compuestos, menores de 100 están los que son múltiplos de “5”, y de “7”, pero no de 3

Múltiplos de “5” que no lo son de ”3” .

5·(7, 11, 13, 17, 19)

 35, 55, 65, 85, 95    ( 5 compuestos)

Múltiplos de “7”

7·(11, 13)

77, 91  (compuestos)

   Compuestos : 16 + 5 + 2 = 23 más las números : 5² y 7² 

Total 25 compuestos y 25 simples

···························

   En los cuatro números estudiados, tenemos uno, en el que no hay ningún número compuesto, otro en el que hay dos números compuestos, (9 y 15), y otro en el que hay una potencia, (5² = 25) y cuatro compuestos, (9,15,21,27), y el mayor, en el que tenemos, dos que son potencias de simples, (25 y 49),  y 23 compuestos.

   Tenemos analizadas las cuatro posibilidades de números pares, por lo tanto, no quedan excepciones.. 

CONCLUSIÓN = TEOREMA

  1ª) Es posible calcular cuantos números simples hay menores que cualquier número par.

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   ¿Cómo podemos relacionar estos números simples, menores que un número par, con la conjetura de Goldbach?

.

   Números impares, menores que el número 18,  9

   Números compuestos : 2

   Números simples : 7

   Parejas de impares, uno simple y uno compuesto, que suman 18 :

(9 + 17) (3 + 15)

   Parejas de impares, los dos simples, que suman 18 :

(17 + 1) ; (13 + 5) ; (11 + 7)

¡Tres de simples!

···························

   Números impares, menores que el número 30,  15

   Números compuestos : 5

   Números simples : 10

   Parejas de impares, uno simple y uno compuesto, que suman 30 :

(27 + 3) ; (25 + 5)

   Parejas de impares, los dos simples, que suman 30 :

(29 + 1) ; (23 + 7) ; (19 + 11) ; (17 + 13)

¡Cuatro de simples!

   Parejas de impares, los dos compuestos, que suman 30 :

( 21 + 9)

    Es evidente que si los números compuestos, 21 y 9, no sumaran 30, aún quedarían 3 parejas de simples.

···························

      Los impares menores de 100, son 50.

     Números compuestos : 25

     Números simples : 25

   Si cada simple formara pareja con uno compuesto, la conjetura de Goldbach, sería falsa, pero es evidente que :

(3 + 97); (11 + 89); (17 + 83);

((29 + 71); (41 + 59); (47 + 53)

Suman 100

 ¡SEIS PAREJAS DE SIMPLES!

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    El número 200, puede expresarse con 9 parejas de simples y cuanto mayor sea el número par que elijamos, encontramos más parejas de compuestos y por lo tanto más parejas de simples

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CONCLUSIONES

   1ª) Cualquiera que sea un número par, se puede calcular cuantos números simples hay, menores que ese número.

   2ª) La conjetura de Goldbach, es cierta, por lo tanto es una verdad incuestionable, es un TEOREMA

   3ª) Cuanto mayor sea el número elegido, más parejas de compuestos, suman ese número y hay más parejas de simples.

 

T. de Fermat demostrado por Fermat?

TEOREMA DE FERMAT

   Analicemos estas dos igualdades :

                           aⁿ = bⁿ + cⁿ   ;    rⁿ = xⁿ + yⁿ 

   Estas dos ecuaciones tienen las mismas soluciones, la diferencia está en que una es aritmética y la otra métrica.

   Si tratamos de encontrar soluciones, dando valores a dos variables numéricas, discontinuas,  p.ej. : (b y c) y calcular la raíz enésima de la suma, incluso con el ordenador más potente, ni en toda la eternidad, acabaría de calcular las raíces, de una sola pareja, por ejemplo :

(bⁿ + cⁿ )^1/n = (3ⁿ + 11ⁿ)^1/n

ya que son infinitas las potencias y las raíces, de índice “n”.

   Sin embargo si tenemos claros, los fundamentos de la geometría analítica, con la ecuación métrica :

rⁿ = xⁿ + yⁿ

encontramos, si las hay. todas las soluciones posibles, con una sola ecuación y en una sola línea :

z =  rⁿ = (x² + y²)^n/2 = xⁿ + yⁿ

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   Esta ecuación sólo es posible si . n = 2.

CONCLUSIÓN

   El teorema de Fermat, queda demostrado. No hay más soluciones que las ternas de enteros pitagóricos

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   Fermat fue coetáneo de Descartes y le sobrevivió 15 años, independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la Geometría Analítica.

   ¿Podría ser ésta, su maravillosa demostración?.

Elipses y Elipsoides

 

LA ELIPSE REGULAR

    Empecemos por recordar algunos conceptos básicos de las matemáticas, que al parecer, han sido olvidados, o tal vez, algunos, ¡nunca fueron explicados a los alumnos!.

   Si buscamos en el diccionario las palabras “matemática” y “teorema”, encontramos la definición :

MATEMÁTICA: “disciplina que estudia, mediante un razonamiento deductivo y riguroso, las propiedades de los entes abstractos, tales como los números, las figuras geométricas, etc”.

¡No se debe confundir un número, con su símbolo!

   TEOREMA : Un teorema es la conclusión de un razonamiento deductivo y riguroso, basado  en una premisa general cierta,   (Axioma o Teorema ya demostrado), cuya conclusión es una verdad ¡incuestionable!.

   NÚMERO ; El número es un concepto abstracto, (inmaterial), ilimitado y discontinuo.

   “Un número es cada uno de los entes abstractos, (del concepto “NÚMERO”), (inmateriales e invisibles), con los que se pueden cuantificar elementos de cualquier concepto”.

   Todos los números son reales y naturales; descubiertos por el hombre, no son inventados; es evidente que el cuadrado de “Raíz cuadrada de Dos”, es Dos y “Raíz cuadrada de Dos”, es un número, que define, exactamente las unidades de longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud; carece de lógica que los catetos se cuantifiquen con un número natural y la hipotenusa no.

   El concepto de “número irracional”, es absurdo; el concepto “irracional”, es aplicable a determinados animales, pero no a los números. ¿Por qué “Raíz cuarta de Cinco”, tiene que ser irracional? y no natural, si su cuarta potencia es “Cinco”, ¡un número natural!

   Estudiemos los números, representados por sus símbolos :

1,  √2,  3,  π,  4,  2/3,   :

   Los seis números son naturales, la diferencia está en que los números : “Uno”, “Tres” y “Cuatro”, están en base diez, mientras que los otros no están en bases diez, pero todos son reales y naturales, ya que “Raíz cuadrada de Dos”, es un número que cuantifica una longitud y longitud y número son conceptos reales y naturales; Pi, (π), es un número tan real y natural, como lo son todos los números y además, es un número “mágico”, o “milagrero”, ya que cualquier segmento de recta, multiplicado por π, nos define la longitud de una circunferencia, ¡Una longitud curva!; el número “Dos Tercios”, lo mismo puede ser el seno de un ángulo, que la tangente de otro. 

   Comprobemos lo que parece mágico o milagroso :

   Cualquiera que sean las unidades de longitud, (udl), de una recta :

d (udl) = a (udl) + b (udl), si se multiplican por el número “p”, nos proporcionan  :

d·π = L (longitud de una circunferencia)

L = (a + b)·π (longitud de una elipse)

   Las longitudes “2a” (udl) y “2b” (udl), son los ejes de las distintas elipses y todas las elipses tienen longitudes iguales;  si . a = b = r, “d” es el diámetro de una circunferencia.

L = π·d = 2·π ·r  (udl)

   La superficie del círculo es :

S = 2·π·r·r/2 (uds)

   Ejemplos :

   Si  : d = 10 unidades de longitud, (udl),  a = 4 (udl)  y b = 6 (udl) :

L = π·d = π·10 = 2·π·r = 10·π  (udl)

L = (a + b)·π = (4 + 6)·π = 10·π (udl)

S = 2·π·r·r/2 = 25·π  (uds)

S = 2·π·a·b/2 = 24·π  (uds)

   La elipse de mayor superficie es el círculo.

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   La superficie de un rectángulo de lados : L₁ = 2·a y L₂  = 2·b :

S = 2·a·sen.90º·2b = 4·a·b (uds)

   Multiplicada por  “π”, nos proporciona una superficie curva, la superficie de un elipsoide regular :

S = 2·a·sen.90º·2·b·π = 4·a·b·π (uds)

   Si : a = b = r :

S·π = 4·π·r²

¡SUPERFICIE DE UNA ESFERA!

   Superficie del elipsoide de revolución : 

S = 4·π·a·b

   Superficie del elipsoide irregular, de semiejes . “a”, “b”, “c”. :

S = 2·π·(a + b)·c

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   Volumen de los elipsoides de revolución :

V₁ = 4·π·a²·b/3   y   V₂ = 4·π·a·b²/3

   Volumen de la esfera, a = b = r :

V = 4·π·a³/3 = 4·π·r³/3

   Volumen del elipsoide irregular :

V = 4·π·a·b·c/3

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   Parece más que probable que los filósofos de la Antigüedad, desconocían el cálculo integral, pero llegaron a las mismas fórmulas, para la superficie del círculo y el volumen de la esfera :

ƒ2·π·r·dr = π·r² (superficie del círculo)

 ƒ4·π·r²·dr = 4·π·r³/3 (volumen de la esfera)

    Es casi seguro que los sumerios y los egipcios, conocían el número, que hoy llamamos : “Pi”

Annals of

Teorema de Marcelo

    Estudiemos las ecuaciones que relacionan las longitudes de

 las aristas de un prisma, de caras rectangulares, con sus diagonales.

 

   Premisa general cierta : “todas las raíces cuadradas de enteros, son unidades de longitud, (udl)”..

   “Las aristas y las diagonales del prisma, son longitudes”.

   “Todos los enteros, son raíces cuadradas de enteros”. (1)  

   “Todos los números de la forma ; N = aⁿ·a^1/2, son raíces cuadradas de enteros”. (2)

CONCLUSIÓN^”

   “Todas las aristas y diagonales, se cuantifican con raíces cuadradas de números enteros, (enteros, o no enteros).

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   La ecuación que se verifica siempre con las (udl), de las aristas, L1 ;  L2 ; L3  y  de la diagonal : L4 es :

L4² ·(cos².a + cos².b + cos².d) = L1²  + L2² + L3²

(1)  D = d²·(cos².a + cos².b + cos².d) = a²  + b² + c²

(2)   D = L4²·(cos².a + cos².b + cos².d) = a^2p+1 + b^2q+1 + c^2w+1

(cos².a + cos².b + cos².d) + (senn².a + sen².b + sen².d) =  3

por lo tanto es posible :

(cos².a + cos².b + cos².d ) = 1; (senn².a + sen².b + sen².d ) = 2

   ¿Puede ser : D = dⁿ·d^1/2? 

   Es evidente, que no es imposible, por lo tanto, puede haber ecuaciones, con : “d”, “a”, “b” y “c” enteros :

d²ⁿ⁺¹ = a^2p+1 + b^2q+1 + c^2w+1    

CONCLUSIÓN

   Es evidente que son posibles ecuaciones con (d, a, b, c), enteros :

d²ⁿ⁺¹ = a^2p+1 + b^2q+1 + c^2w+1 

   Haciendo los mismos razonamientos, se deduce, que son posibles con cuatro enteros, igualdades :

d²ⁿ⁺¹ = a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ + c²ⁿ⁺¹

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   Analicemos también las ecuaciones que relacionan las diagonales de las caras del prisma, con los lados de los rectángulos :

L5²·(cos².φ+ cos².ψ) = g^2p+1 + j^2q+1 = A + B

   ¿Puede ser : L5 = dⁿ·d^1/2?

   Se demuestra que es imposible :

   Comparemos estas ecuaciones trigonométricas .

(cos².a + cos².b + cos².d ) < 3

 (cos².a + cos².b + cos².d ) = 1

(cos².φ + cos².ψ + cos.90º) = 2

(cos².φ + cos².ψ) = 1

   Es evidente que :

   1ª) 90º > a > φ  ;   90º > b > ψ    y    d ≠ 90º

   2º) (cos².a + cos².b + cos².d) =1< (sen².a +sen².b +sen².d) = 2

   3º) (cos².φ + cos².ψ) = (sen².φ + sen².ψ)=(cos².φ + sen².φ) =1

   Es evidente que si ; n > 2 : (senⁿ.φ + senⁿ.ψ) < 1;

D ≠ dⁿ·d^1/2, cualquiera que sea “n”.

   Es evidente que las ecuaciones posibles son :

d² = g^2p+1 + j^2q+1  y  d² = f^2p+1 + g^2p+1

“d” es la raíz cuadrada de un entero y todos los enteros, son raíces cuadradas de enteros mayores, por lo tanto “d”, puede ser un entero.

CONCLUSIÓN

Es evidente que son posibles ecuaciones con (d, g, j), enteros .

 d² = f^2p+1 + g^2q+1

d² = g^2p+1 + j^2p+1

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PIERRE FERMAT y su TEOREMA

PIERRE FERMAT y su  TEOREMA

   Pierre Fermat no era profesor de Matemáticas, estudió leyes en Toulouse, era jurista y consejero del Parlamento de la ciudad de Toulouse. Se dedicaba a las Matemáticas por afición, por lo que al parecer el historiador de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, le apodaba “príncipe de los aficionad0os”.  

   Fermat ha pasado a la historia por muchos méritos, pero quizás el que más ha contribuido, ha sido su famoso teorema, conocido como “último teorema de Fermat”, cuya supuesta demostración, publicada por A.  Wiles, no es válida; no es válida, por la sencilla razón de que un teorema se demuestra con un razonamiento deductivo y riguroso, a partir de un AXIOMA, nunca de una suposición, (conjetura); una conjetura si se demuestra que es cierta, pasa a ser un teorema, pero la conjetura S.T. W., es falsa, por lo tanto no sirve.

    El texto que dejo Fermat es : “No es posible descomponer un cubo en suma de dos cubos, una cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias ni, en general, ninguna potencia de exponente mayor que dos, en dos potencias del mismo exponente”; “he conseguido una maravillosa demostración”, “la estrechez de este margen no puede contenerla”. 

   Es evidente que desde que enunció el teorema hasta su muerte, tuvo mucho tiempo y sitios donde publicar su demostración.

   ¿Por qué no la publicó?

   La razón es muy simple, no quiso publicarla, ni enunciar su teorema en términos más precisos, sin antes retar a sus contemporáneos; solía escribir a otros matemáticos, exponiéndoles un determinado problema, preguntándoles si poseían el ingenio suficiente para encontrar la solución.

   Jamás revelaba sus cálculos, lo que les “encabronaba” bastante; Descartes, filósofo y matemático, le calificaba de “jactancioso” y el inglés John Wallis se refirió a él con el calificativo : “ese condenado francés”.

   Fermat podía ser jactancioso, pero no cabe duda, que era muy inteligente, tenía ingenio y además era un granuja, por lo que se puede afirmar que tenía esa “maravillosa demostración”, que puede ser una de las más una docena que he encontrado.

   El hecho de que no escribiera, ni una traducción al lenguaje matemático, de su texto, traducción hecha, posteriormente :

aⁿ = bⁿ + cⁿ (imposible) 

me ha llevado a la convicción de que esa “maravillosa demostración”, para ser “maravillosa”, tiene que ser muy simple, como lo es la que, se expone a continuación y de la que sospecho puede ser la que no quiso publicar :

   Es evidente, no hay que demostrarlos, SON AXIOMAS, evidentes y conocidos, desde hace más 4500 años :

   Todas las raíces cuadradas de enteros, son unidades de longitud, (udl).

   Todos los números enteros, pueden ser unidades de distintos conceptos, entre éstos, unidades de superficie, (uds), y de volumen, (udv).

    Las (udl), de los lados de los triángulos son siempre raíces cuadradas de enteros..

   Cualquiera que sea el índice de una potencia de enteros, es un número entero, pero sus raíces solo son enteros, si el índice de la raíz divide al índice de la potencia, el resto nunca es un entero.

 La igualdad, sin factores comunes :

A = aⁿ = bⁿ + cⁿ = B + C

sólo es  posible, con tres enteros,  dos impares y uno par.

   Las raíces cuadradas : √A = a^n/2;  √B = b^n/2 y  √C = c^n/2, son siempre unidades de longitud, (udl), de la hipotenusa y de los catetos de un triángulo rectángulo, por lo tanto la terna numérica : (a^n/2, b^n/2, c^n/2), si n › 2, no puede ser una terna de enteros pitagóricos.

CONCLUSIÓN

    El texto de Fermat es cierto : aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

   En sólo 11 líneas, se ha demostrado el T. de Fermat,

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   Aprovechando que el Pisuerga, no pasa por Valladolid, vamos a demostrar también el de Beal.

    Entre las ternas posibles de las (udl), de los triángulos rectángulos, con una o dos potencias de enteros están :

(a^p·√a ; b ; c) ;   (a ; b^q·√b ; c)

 (a^p·√a ; b^q·√b ; c) ;  (a ; b^q·√b ; c^v·√c)

y las ecuaciones :

a^2p+1 = b² + c² ;   a² = b^2q+1 + c²

a^2p+1 = b^2q+1 + c² ;   a² = b^2q+1 + c^2v+1

CONCLUSIÓN

   La conjetura de Beal es cierta y por lo tanto es también un teorema.

    Ejemplos :

8³ = 7³ + 13²  (Ecuación con ternas pitagóricas)

2⁹ = 7³ + 13²  (Ecuación Beal)

9² = (4√2)² + 7² (Ecuación con ternas pitagóricas)

3⁴ = 2⁵ + 7² (Ecuación Beal)

29² = (25)² + (6√6)²   (Ecuación con ternas pitagóricas)

29² = 5⁴ + 6³  (Ecuación Beal)

3² = (2·√2)² + 1²   (Ecuación con ternas pitagóricas)

3² = 2³ + 1ⁿ     (E. de Catalán y Beal)

CONCLUSIÓN

   Hay infinitas soluciones de la ecuación :

A = aⁿ = b^m + c^ñ = B + C    

   pero siempre, uno de los índices es “2”.

 

 

Fermat y su TEOREMA 1

PIERRE FERMAT y su  TEOREMA

   Pierre Fermat no era profesor de Matemáticas, estudió leyes en Toulouse, era jurista y consejero del Parlamento de la ciudad de Toulouse. Se dedicaba a las Matemáticas por afición, por lo que al parecer el historiador de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, le apodaba “príncipe de los aficionad0os”.  

   Fermat ha pasado a la historia por muchos méritos, pero quizás el que más ha contribuido, ha sido su famoso teorema, conocido como “último teorema de Fermat”, cuya supuesta demostración, publicada por A.  Wiles, no es válida; no es válida, por la sencilla razón de que un teorema se demuestra con un razonamiento deductivo y riguroso, a partir de un AXIOMA, nunca de una suposición, (conjetura); una conjetura si se demuestra que es cierta, pasa a ser un teorema, pero la conjetura S.T.W., es falsa, por lo tanto no sirve.

··························

    El texto que dejo Fermat es : “No es posible descomponer un cubo en suma de dos cubos, una cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias ni, en general, ninguna potencia de exponente mayor que dos, en dos potencias del mismo exponente”; “he conseguido una maravillosa demostración”, “la estrechez de este margen no puede contenerla”. 

··························

   Parece más que evidente que desde que enunció el teorema hasta su muerte, tuvo mucho tiempo y sitios donde publicar su demostración.

   ¿Por qué no la publicó?

   La razón es muy simple, no quiso publicarla, ni enunciar su teorema en términos más precisos, sin antes retar a sus contemporáneos; solía escribir a otros matemáticos, exponiéndoles un determinado problema, preguntándoles si poseían el ingenio suficiente para encontrar la solución.

   Jamás revelaba sus cálculos, lo que les “encabronaba” bastante; Descartes, filósofo y matemático, le calificaba de “jactancioso” y el inglés John Wallis se refirió a él con el calificativo : “ese condenado francés”.

   Fermat podía ser jactancioso, pero no cabe duda, que era muy inteligente, tenía ingenio y además era un granuja, por lo que se puede afirmar que tenía esa “maravillosa demostración”, que puede ser una de las más una docena que he encontrado.

·························

   El hecho de que no escribiera, ni una traducción al lenguaje matemático, de su texto, traducción hecha, posteriormente :

aⁿ = bⁿ + cⁿ (imposible) 

me ha llevado a la convicción de que esa “maravillosa demostración”, para ser “maravillosa”, tiene que ser muy simple, como lo es la que, supongo, no quiso publicar :

   Es evidente, no hay que demostrarlo, ES UN AXIOMA :

   Ni una sola, de las raíces de índice par, de todas las potencias de índice impar, es un número entero, por lo tanto es imposible descomponer una potencia enésima en la suma de dos potencias enésimas de dos enteros :

aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

para todos los índices impares : n ≥ 3

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   De las potencias de índice impar, sólo son enteros las raíces cuyo índice divide exactamente el índice de la potencia.

·························

   Si las potencias son de índice par, sólo son enteros las raíces cuyo índice divide exactamente el índice de la potencia.

··························

   Ejemplos :

a = 3⁵ → 3^5/4 ; 3^5/3 ; 3^5/2 (ninguno es entero)

b = 3¹⁵ → 3^15/3  = 3⁵ ; 3^15/5 = 3³

(ninguna de las otras doce raíces es un entero)

c = 3¹⁴ → 3^14/2 = 3⁷ ; 3^14/7 = 3²

(ninguna de las otras once raíces es un entero)

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   ¿Sería esta la “demostración maravillosa”, que no quiso publicar?. ¡Es tan maravillosa!, que es un AXIOMA, (es evidente por si misma); o tal vez alguna de las más de una docena que se deducen de la inecuación y ecuación :

aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ       aⁿ = bⁿ + cⁿ

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO INTEGRAL

   1º) Integrar es sumar diferenciales de los conceptos continuos : volumen V, superficie S, longitud L, ángulo a y tiempo T.

   Concepto de diferencial :

   2º) Se nomina “diferencial”, a un infinitésimo de un concepto continuo :

   3º) En un sistema cartesiano, un diferencial es un infinitésimo de una longitud, una superficie o un volumen : dv ; ds y dr

   4º) El volumen y la superficie, son conceptos que dependen de la longitud y del ángulo : V = f(l, ψ, ω)  y  S = f(l, φ) :

V = f(l, ψ, ω) = l·sen.ψ·l₁·sen.ω·l_{2 ;}   S = f(l, ψ) = l·sen.φ·l₁

   5º) En un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable independiente “r”, toma valores en los ejes, se nomina : “x”, “y”, “z”.

    6º) La variable y su función, son ortogonales :

f(x)^x; f(y)^y; f(z)^z; f(r)^r; z = f(x); y = f(x); z = f(r_xy); r = f(x)

   7º) En un sistema cartesiano : sen.φ = sen.ω  = sen.90º = 1.

   8º) En un sistema cartesiano, las coordenadas de un punto, son las tres longitudes paralelas a los ejes, que parten de ese punto : lx = x; ly = y; z = lz .

   9º) No hay dos puntos con las mismas coordenadas

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      La variable longitudinal, continua, totalmente independiente es “r”.    

   Se admite que la ecuación de un paraboloide es :

z = rⁿ = (x² + y²)^n/2

pero no es cierto; z = rⁿ, define las coordenadas (l_z = z), de puntos en la superficie de un paraboloide; hay que tener presente que las coordenadas de un punto son las tres longitudes, paralelas a los ejes, que parten del punto : 

P(l_x = x, l_y = y, l_z = z = rⁿ = (x² + y²)^n/2),

   Pero ni los puntos, ni las coordenadas, (longitudes), son superficie.

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Observemos el paraboloide  de la figura :

   Estudiemos el volumen definido por la intersección del paraboloide  con un plano paralelo al cartesiano XY  y con un cilindro de radio r : (p es el número "pi")

 V(cilindro) = S·z = p·r²·rⁿ

   La intersección de este cilindro, con  base un círculo en el plano XY y centro el origen de coordenadas, con la superficie del paraboloide anterior, de altura z = rⁿ nos divide el volumen del cilindro en dos volúmenes V_z y V_xy , el 1º con base un círculo a la altura z = rⁿ = K y el 2º el de base el círculo en el plano XY; busquemos las ecuaciones que nos proporcionan los dos volúmenes :

V = S·sen.90º·z = V_z + V_xy

V = p·r²·sen.90º·z = p· r²· rⁿ = V_z + V_xy

   Veamos como varía “V”, cuando varía “r” :

V + dv = p· (r + dr)²· (r + dr)ⁿ

(r + dr)²·(r + dr)ⁿ = (r² + 2·r·dr + dr·dr)·(rⁿ + n·r^n-1·dr + n·(n-1)·dr·dr + n·(n-1)·(n-2)·dr·dr·dr +······+ drⁿ)

 dr·dr = 0

 n·(n-1)·dr·dr + n·(n-1)·(n-2)·dr·dr·dr+ ··+drⁿ = 0

 V + dv = p·(rⁿ⁺² + (n + 2)·rⁿ⁺¹·dr)

dv = p·(n + 2)·rⁿ⁺¹·dr = n·p·rⁿ⁺¹·dr + 2·p·rⁿ⁺¹·dr

“dv” varía en la proporción de “n” a “2”.

∫dv = ∫ p·(n + 2)·rⁿ⁺¹·dr = p·(n + 2)·rⁿ⁺²·r/¿w? =  V

V = p· r²· rⁿ

Es evidente que : ¿w? = (n + 2) 

∫dv = ∫p·(n + 2)·rⁿ⁺¹·dr = p·(n + 2)·rⁿ⁺¹·r/(n+2) =  V

V = (n+2r⁽ⁿ)·p·rⁿ⁺²⁾/(n+2) = p·r⁽ⁿ⁺²⁾

 V_z = n·p·r⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2) ; V_xy = 2·p·r⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)

   EJEMPLO :

z = r³ = 2³

V = p· r²· rⁿ = V = p· 2²· 2³ = p·32 (udv)

V_z = n·p·r⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2) = 3·p·2⁽³⁺²⁾/(3+2) = p·32·(3/5) (udv)

V_xy = 2·p·r⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2) = 2·p·r⁽²⁺²⁾/(2+2) = p·32·(2/5) (udv)

p·32·(3/5) (udv) + p·32·(2/5) (udv) = p·r²· r³ = V

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Cuadratura del circulo

 CUADRATURA DEL CÍRCULO

   Es evidente, no hace falta demostrarlo, que la longitud, la superficie y el volumen, son conceptos continuos, por lo tanto son premisas generales ciertas, (en matemáticas, se denominan “axiomas”.

   También es evidente, al menos para los seres inteligentes, que los números son conceptos abstractos discontinuos y que no todos los números están en base diez; entre los que no están en base diez está el número “Pi”, cuyo símbolo es “π” y las raíces no enteras, de enteros.

   Es evidente que todos los números mayores de uno, son potencias de números menores :

√3 < 3 , √π < π

   Es evidente que una circunferencia de radio : r = 1/π, metros, tiene una longitud de :

L = 2·π·r = 2·π/π = 2 metros

   La superficie del círculo es :  S = π·r²

   Si : r = 1/√π    →  r² = 1/π ;  S = π/π = 1 metro cuadrado

   El volumen de la esfera es : V  = 4·π·r³/3

   Si r = (3/4)^1/3/³√π  →  r³ = ¾/π ;   V = π/π = 1 metro cúbico

    Es evidente que existen círculos y cuadrados con superficies iguales y esferas y cubos con volúmenes iguales.

   Cualquiera que sea una superficie, plana o curva, siempre hay un cuadrado con igual superficie.

   Cualquiera que sea ul volumen de un poliedro, elipsoide o cualquier otro volumen,  siempre hay un cubo con igual volumen.