Estudiemos el T. de Pitágoras

   Estudiemos el T. de Pitágoras :

TEOREMA DE PITÁGORAS

   El T. de Pitágoras fue demostrado hace más de 2.500 años, teorema que, al parecer nadie ha estudiado, por lo que nadie ha deducido los diez corolarios, ¡teoremas!, que se deducen a continuación, entre los que tenemos los teoremas de Fermat y de Beal.

   Pitágoras, utilizando los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, demostró que las superficies de los tres cuadrados son tales que siempre:

S_h = S_d + S_g

       S_h =  superficie del cuadrado de lados la longitud de la hipotenusa.

                S_d = superficie del cuadrado de lados la longitud de un cateto.

                S_g = superficie del cuadrado de lados la longitud del otro cateto.

   Los lados del cuadrado son cuatro, de longitudes iguales a la hipotenusa “H” y a los catetos, “B” y”C”, por tanto :

   Si : H = L₁ = L₂ = L₃ , un cateto . D = D₁ = D₂ = D₃ y el otro cateto G = G₁ = G₂ = G₃  

   La ecuación geométrica de Pitágoras  es :

S_h = H·sen.90º·L₁ = D·sen.90º·D₁ +  G·sen.90º·G₁ = S_d + S_g

   En la ecuación aritmética de Pitágoras, ¡No hay que olvidar que en la ecuación geométrica no se puede prescindir de ningún factor!, aunque sen.90º = 1, por tanto en la aritmética, tampoco debemos prescindir y si se prescinde no olvidar que ese factor está ahí, pues no siempre es el número uno, ni el mismo número.

   Por otra parte es evidente que si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son : a, b y c, (metros, p.ejemplo) :  a·sen.a = b, y a·cos.a = c, por tanto es evidente que :

a²·sen².a = b²   y   a²·cos².a = c²

a²(sen².a + cos².a ) = b² + c²  → (sen².a + cos².a ) = 1

   Primer corolario :  Cualquiera que sea el ángulo, sen².a + cos².a  = 1

   Segundo corolario : Si A = a²·(sen².a + cos².a) = (B = b²) + (C = c²), es evidente que los lados de todos los triángulos rectángulos están cuantificados con las raíces cuadradas de tres números que verifican la ecuación : A = B + C.

   Tercer corolario : Las ecuaciones A = B + C. sin factores comunes, sólo son posibles con números enteros y decimales exactos, por tanto : √A, √ B y √C, son ternas pitagóricas, que siempre están formadas por tres números que cuantifican las longitudes de los lados de triángulos rectángulos  y pueden ser :

    a) Tres irracionales   (el mayor porcentage)  

   b) Dos irracionales y un entero   (porcentage menor que “a”)

   c)  Un irracional y dos enteros    (porcentage menor que “b”)

   d) Tres enteros   (Mínimo porcentage)

   Todas las ternas pitagóricas, (números que cuantifican los lados de triángulos rectángulos), son raíces cuadradas de enteros y si las tres raíces son enteros, esa terna se conoce como “terna de enteros pitagóriocos”, para diferenciarla de las ternas de enteros que cuantifican los lados de triangulos no rectángulos.

   Las ternas de enteros pueden ser, (a, b, c), o sus múltiplos, (m·a, m·b, m·c), pero nunca sus potencias, (a^m, b^m, c^m).

   Cuarto corolario : Si A = B + C, es evidente que todas las ternas mínimas de “enteros pitagóricos” están formadas por dos impares y uno par; uno de los impares es un número primo y a veces los dos.

   Quinto corolario : Sólo si la terna angular de un triángulo es, (90º, a, b), es posible la ecuación :

sen².a + sen².b = 1 = cos².a + cos².b = sen².a + cos².a = 1. .

   Sexto corolario : La ecuación, cosⁿ.a + cosⁿ.b = 1, sólo es posible con dos condiciones :

   1ª) Que : a + b = 90º

   2ª) Que : n = 2

   Septimo corolario :   de  a·sen.a = b, y a·cos.a = c, se deduce que :

aⁿ·senⁿ.a = bⁿ   y   aⁿ·cosⁿ.a = cⁿ

   de donde se deduce :

A = aⁿ(senⁿ.a + cosⁿ.a ) = bⁿ + cⁿ = B + C

   Es evidente que : (senⁿ.a + cosⁿ.a ) < sen².a + cos².a = 1 para todo n > 2.

de donde se deduce que la única ecuación posible :

A = aⁿ = bⁿ + cⁿ = B + C

Con (a, b, c) enteros es :

A = a²(sen².a + cos².a ) = a² = b² + c² = B + C

       Octavo corolario : si en la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ, dividimos por aⁿ, es evidente que :

bⁿ/aⁿ + cⁿ/aⁿ = 1 = sen².a + cos².a

de donde se deduce que los números, (a^n/2,  b^n/2, c^n/2) son una terna pitagórica que no puede ser de enteros, si : n > 2.

   Noveno corolario : Los números : √A = a^q·√a,   √B = b^p·√b  y  √C = c^w·√c, son tres raíces cuadradas, que pueden cuantificar longitudes, pero no pueden formar una terna pitagórica, ya que :

√b/√a = cos.a    y    √c/√a = cos.b

(√b/√a)³ = b³/a³  = cos³.a    y    (√c/√a)³ = c³/a³ = cos³.b

de donde se deduce la ecuación :

A = a³(cos³.a + cos³.b ) = b³ + c³ = B + C

cos³.a + cos³.b < cos².a + cos².b = cos².a + sen².a = 1

   Décimo Corolario :  en la ecuación : (A = aⁿ) = (B = b^m) + (C = c²), los números : √A = a^q·√a,   √B = b^p·√b  y  √C = c, con q ≥ 1 y con p ≥ 1, tenemos ternas :

(a^q·√a,  b^p·√b ,  c)    (a^q·√a,  b ,  c)    (a,  b^p·√b ,  c)

que pueden ser pitagóricas de dos irracionales y un entero o de un irracional y dos enteros, que verifican las ecuaciones, con (a, b, c) enteros :

a^2q+1 =  b^2p+1 +  c²     a^2q+1 =  b² +  c²    a² = b^2p+1 + c²

   Si : n = 2q+1 y m = 2p+1

es evidente que son posibles ecuaciones con enteros :

aⁿ = b^m + c²     aⁿ= b² + c²     a² = b^m + c²

 CONCLUSIONES

    El séptimo y octavo corolarios, (teoremas), son dos demostraciones del último teorema de Fermat.

     El décimo corolario, (teorema), es una demostración del T. de Beal.

   Ambos teoremas se demuestran tomando como base para los razonamientos deductivos y rigurosos el T. de Pitágoras, que es una premisa cierta e incuestionable.

    Como del teorema de Pitágoras, de los teoremas Fermat y de Beal, también hay más de una docena de demostraciones.