T. de Fermat

T. de Fermat

 

   Tomemos una circunferencia cuyo diámetro sea  A = a^m metros, siendo “A” y “a” enteros; es evidente que los infinitos triángulos posibles, con uno de los lados el diámetro y el vértice opuesto al diámetro en puntos de esa circunferencia, son todos rectángulos, por tanto se verifica la ecuación, siendo “B” los metros de un cateto y “C” los metros del otro cateto, :  

A² = a^2m = B² + C²

   Entre los infinitos triángulos posibles sólo hay : A – 1 = (a^m –1) catetos con valores de “B” enteros, por ejemplo, y ninguno de “C”; todos los valores de “C” son raíces cuadradas de enteros pero irracionales,  con la posible excepción de que “a” forme parte de una terna de enteros pitagóricos, (a, b, c).

   Entre los valores de “B” enteros están : B₁ = b^m y B₂ = a^m-1·b, ambos menores que A = a^m > a^m-1·b > b^m; si hubiera una terna de enteros pitagóricos (a, b, c), estarían también los enteros : C₁ = c^m  y  C₂ = a^m-1·c y siempre a^m > a^m-1·c > c^m .  

   Si no hay una terna de enteros (a, b, c), es evidente que en la ecuación :

a^2m = b^2m + c^2m  ®   “c = ^2mÖC²” es irracional, aunque C² es entero

   Si hay una terna de enteros, (a, b,c), cualquier persona que haya estudiado el T, de Pitágoras debiera saber que todos los triángulos semejantes al de lados : a (metros),   b (metros)   y   c (metros)

tienen la misma terna angular ( a, b, 90º) y el de lados A, B, y C metros, no puede ser semejante al de lados de “a”, “b” y “c” metros, ya que los lados de los triángulos de lados  a^m, b^m y c^m metros no tienen lados proporcionales; sólo son posibles con los lados proporcionales los de lados a^m, a^m-1·b y a^m-1·c metros, que tienen los mismos ángulos.

    La ecuación que se verifica con A, B, C, a, b  y  c enteros es :

A² = a^2m = a^2(m-1)·b² + a^2(m-1)·c² = B² + C²

LA ÚNICA TERNA DE ENTEROS POSIBLE ES (a^m, a^m-1·b·; a^m-1·c).

Es evidente que :  a^2m = a^2(m-1)·b² + a^2(m-1)·c² = b^2m + c^2m

SÓLO ES POSIBLE CON “a”, “b”, y “c” ENTEROS SI :  m = 1,  en cuyo caso  :     a² = b² + c² 

   La ecuación    aⁿ = bⁿ + cⁿ,  con “a”, “b”  y  “c” enteros sólo es posible con  n = 2,    T. de Fermat.

   Si el vértice estuviera dentro del círculo de diámetro “A” todos los triángulos de lados A, B y C metros, siendo A, B, y C enteros, serían obtusángulos y siempre :

A²  = a^2m = B² + C² + 2·B·C·cos.j   (j > 90º)

   Si el vértice estuviera fuera del círculo, todos los triángulos serían acutángulos y siempre :

A² = a^2m = B² + C² – 2·B·C·cos.j   (j  < 90º)

   Es evidente que en ambos casos, aunque “a”, B = b^m  y  C = c^m y “b” y “c” sean enteros es imposible : 2·B·C·cos.j = 0

A²  = a^2m = b^2m + c^2m ± 2·B·C·cos.j  ¹ b^2m + c^2m

Pues siempre  cos.j ¹ 0;  T. de Fermat.

Conclusión

   El T. de Fermat se deduce del de Pitágoras, del T. del coseno y también del T. del seno, del T. de Marcelo, del que se deducen los anteriores y de otros más, habiendo más de una docena de demostraciones sencillas y comprensibles por cualquier persona, aunque no sea un experto en matemáticas, como la siguiente, que si cabe en el margen de un libro;  Si :

A = aⁿ = B + C = bⁿ + cⁿ

1 = B/A + C/A = sen².a + cos².a

   Es evidente que A, B y C son los cuadrados de los tres números que cuantifican los lados de un triángulo rectángulo.

   Una terna pitagórica de enteros no puede ser :  a^n/2, b^n/2, c^n/2

Pues la única posible es :

a^n/2 = a·a^(n-2)/2,  b^n/2 = a^(n-2)/2·b,  c^n/2 = a^(n-2)/2·c

   Estas dos ternas sólo coinciden si  n = 2,  en cuyo caso :  a² = b² + c².