De Eulides a Pitágoras y Fermat

 

   Partamos del invariante que se deduce del T. de Pitágoras :

sen². a + cos².a = 1

y de la ecuación :                 aⁿ = bⁿ + cⁿ

   Es evidente que :    aⁿ/aⁿ = bⁿ/aⁿ + cⁿ/aⁿ = 1 = sen².a + cos².a

   Es evidente que :    bⁿ/aⁿ = sen².a      y     que   cⁿ/aⁿ = cos².a

   Es evidente que :    b^n-1/a^n-1 = sen².b  y     que   c^n-1/a^n-1 = cos².b

Y así sucesivamente hasta llegar a los cocientes :

                                  b²/a² = sen².w     y    c²/a² = cos².w

   De estas ecuaciones se deduce que todos los sen². y cos². de todos los ángulos son cocientes de números enteros y por tanto todos los senos y cosenos son cocientes de dos raíces cuadradas de enteros.

   Es evidente que si “a”, “b” y “c” son tres números enteros son siempre raíces cuadradas de tres números enteros mayores y es  imposible :    

       sen².a + cos².a = senⁿ.w + cosⁿ.w = sen².w + cos².w = 1   si  n ¹ 2

   La  ÚNICA posibilidad de que siendo A = B + C = aⁿ, B/A = sen².a y C/A = cos².a, siendo “a” entero y  n ¹ 2 es :

A = aⁿ = B + C = b²·a^n-2 + c²·a^n-2

 pues en este caso, si n ¹ 2 :  sen².a + cos².a ¹ senⁿ.w + cosⁿ.w

1 = b²·a^n-2/aⁿ + c²·a^n-2/aⁿ =  b²/a² + c²/a² = sen².a + cos².a = sen².w + cos².w

 

 

   Partamos de tres números eteros : A > B > C y   A < B + C 

   Creo que no hace falta saber muchas matemáticas para saber que hay infinitos números : A = a^m, B = b^m  y  C = c^m que cumplen con las condiciones anteriores y siempre se verifica alguna de las ecuaciones :

A² = B² + C² + 2·B·C·cos.j = b^2m + c^2m + 2·B·C·cos.j  (j > 90º)

A² = B² + C² – 2·b·c·cos.j = b^2m + c^2m – 2·B·C·cos.j  (j < 90º)

A² = B² + C² = b^2m + c^2m  (j = 90º)

   En este último caso A, B y C, formarían una terna de enteros pitagóricos, pero no existe ninguna terna de enteros pitagóricos de la forma (a^m, b^m, c^m), con “b” y “c” enteros, ya que la única posible con A, B y C enteros es :

(a^m, b·a^m-1, c·a^m-1); es evidente que : a^m = a^m, b^m < b·a^m-1, c^m <  c·a^m-1

y que, para todos los valores posibles de “m” se verifica la ecuación :

 aⁿ = a^2m = b²·a^2(m-1) + c²·a^2(m-1)

 

   Dos demostraciones sencillas, fáciles de analizar y por tanto es muy fácil encontrar si se ha hecho alguna deducción incorrecta que invalide la demostración.