Demostració para estudiantes

  Pitágoras demostró que en todos los triángulos rectángulos, sin una sola excepción, la superficie del cuadrado cuyo perímetro es 4·h (h es la longitud de la hipotenusa) es igual a la suma de las superficies de los cuadrados cuyos perímetros son  4·C (C longitud de un cateto) y 4·c (c longitud del otro cateto), por tanto demostró :   

S = s₁ + s₂

   Hasta aquí lo que demostró Pitágoras.

   Parece ser que hay que recordar que la superficie de todos los cuadriláteros regulares, y el cuadrado lo es, se calcula multiplicando la base por la altura y que la ecuación que expresa este producto es : 

S = B·A

ahora bien, no siempre la altura es perpendicular a la base, por lo que la ecuación que sirve para todos los cuadriláteros regulares, siendo C la longitud de cada uno de los dos lados paralelos, que con los dos lados paralelos de longitud B forman el perímetro del cuadrilátero, es : 

S = B·C·sen.j

siendo “j” el ángulo que forman los lados B y C.

   Hay que recordar que el concepto “superficie” es un concepto geométrico y como tal es un producto de dos longitudes por el seno del ángulo que forman, y que en el caso del rectángulo j = 90º, C = A  y  sen.90º = 1, y la ecuación geométrica es :  S = B·C·sen:90º º B·A·sen.90º. 

   En el cuadrado por ser A = C = B la ecuación geométrica sigue siendo :

S = B·C·sen.90º = B·A·sen.90º

   En este caso la ecuación aritmética, con S = D (uds), (D es un número), B = b (uds) y A = c (uds) por ser sen.90º = 1, podemos expresarla :

D = b·c = b² = c²

   En la que D, b y c son números que cuantifican : D (una superficie), b (una longitud) y c (otra longitud perpendicular a la de b unidades).

   Si en la ecuación   S = s₁ + s₂ expresamos estas superficies en unidades  de superficie, (números), S = D, s₁ = E y s₂ = F, es evidente que en la ecuación :  D = E + F hay infinitos valores de E y F cuya suma es D y todas las raíces cuadradas de los tres números son tales que ÖD, ÖE y ÖF son las unidades de longitud de los lados de un triángulo rectángulo, por tanto Pitágoras no demostró que : d² = e² + f², esta igualdad ya la conocían los sumerios, los egipcios y el mismo Pitágoras, lo que probablemente no sabían es que con longitudes de “5”, “4” y “3” unidades, (y demás ternas de cuadrados perfectos), SIEMPRE se construye un triángulo rectángulo.

   De este teorema se deduce, fácilmente, que sen².a + cos².a = 1, para todos los valores de “a”, de donde se deduce que D, E y F son siempre enteros, o múltiplos o submúltiplos de enteros y “d”,“e” y “f” sólo son enteros, los tres, cuando forman una terna pitagórica de enteros, en los demás casos al menos uno es irracional.

   Pongamos un ejemplo sencillo, tomemos D = 18 :

18 = 17 + 1 = 16 + 2 = 15 + 3 = 14 + 4 = 13 + 5 = 12 + 6 = 11 + 7 = 10 + 8 = 9 + 9

   De acuerdo con el T. de Pitágoras la raíz cuadrada de 18 es la longitud, en cualquier sistema métrico y en cualquier base de numeración, de una hipotenusa y todas las raíces cuadradas de cada pareja que suman 18, lo son de los catetos de ese triángulo.

   De las 18 raíces, Ö9 = 3 está repetido, sólo son enteros las de los números (1,4, 9 y 16), es decir sólo hay cuatro enteros y el 3 corresponde a un triángulo isósceles, las otras 16 raíces son números irracionales. 

   Si D = 25, cuadrado de 5 :  

25 = 24 + 1 = 23 + 2 = ····· = 16 + 9 ·····= 13 + 12

de los 24 catetos hay cuatro cuantificados con enteros, pero dos; el 3 y el 4, están en el mismo triángulo, por tanto hay una terna de enteros pitagóricos y sólo hay dos triángulos con uno de sus catetos cuantificado con un entero en los otros 9 los dos catetos, (18), lo están con números irracionales.

   Si  dⁿ = D = E + F, y D, E y F son enteros, es evidente que si “d” no forma parte de una terna de enteros pitagóricos sólo hay (d-1) valores de E que son potencias de enteros, E = eⁿ, y ÖC = f^n/2 y todas las raíces n-simas de C, son números irracionales.    

   Si “d” formara parte de una terna de enteros es evidente que la única terna de enteros posible es la que verifica :

dⁿ = d^(n-2)·e² + d^(n-2)·f²

y siempre     eⁿ < d^(n-2)·e²   y  fⁿ < d^n-2·f²

   Por tanto es imposible la ecuación :

A = aⁿ = B + C = bⁿ + cⁿ con A, a, B, b, C y c enteros; T. de Fermat.

 

   Otro razonamiento :

   Si D = E + F se comprueba que es imposible una terna de enteros (d, e, f), ya que los enteros siempre son raíces cuadradas de otros enteros  mayores y por tanto .

sen.a = e/d  y  sen.b = f/d

    por tanto : senⁿ.a = eⁿ/dⁿ = E/D  y  senⁿ.b = fⁿ/dⁿ = F/D

de donde se deduce que :

senⁿ.a + senⁿ.b = 1 = sen².a + cos².a = sen².b +cos².b

   Imposible si no se dan las dos condiciones :

a + b = 90º   y   n = 2