Renacimiento de las Matemáticas

α 

FERMAT, el último MATEMÁTICO

 

 

FILOSOFÍA, MATEMÁTICAS

Y

SOFISMAS EN LAS MATEMÁTICAS

 

 

Si : a > b > c > d > e > ·······> z > b₁ > ·· enteros  > 1

a·p = b,   a·q = c,   a·r = d ,   a·s = e ····

Ecuación de Marcelo : aⁿ(pⁿ + qⁿ + rⁿ + sⁿ + ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + eⁿ +  ····

Ecuación de Pitágoras . a²( p² + q²) = b² + c² = a²

Ecuación de P. Fermat : aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ ¹ aⁿ

0 < pⁿ + qⁿ < 2

a²(p² + q²) = a²(cos².α + cos².β) = b² + c²

aⁿ (pⁿ + qⁿ) =  aⁿ(cosⁿ.α + cosⁿ.β)= bⁿ + cⁿ

cosⁿ.α + cosⁿ.β = bⁿ/aⁿ + cⁿ/aⁿ  = 1 = sen².α + cos².α

sen².α + cos².α = 1 =  cosⁿ.α + cosⁿ.β

Esta ecuación sólo es posible si :  α + β = 90º  y  n = 2

 

pⁿ + qⁿ + rⁿ = 1 [posible con (a,b.c.d) enteros y n > 2]

p² + q² = 1        [posible con (a,b,c,) enteros]

pⁿ + qⁿ + rⁿ + sⁿ  = 1 [imposible con (a,b,c, d, e,··) enteros y n > 2]

pⁿ + qⁿ = 1                [imposible con (a,b,c) enteros y n > 2]

 

 

 

 

Autor :  José Antonio Izquierdo Primo

 

 

 

 

 

LEÓN- FEBRERO DE 1996

Ed. revisada y ampliada en mayo de 2012

 

SERÁN VERDAD ESTAS CITAS?

   1ª “No he conocido casi nunca a un matemático, que estuviera en condiciones de sacar conclusiones razonables”. PLATON.

  2ª “Las MATEMÁTICAS son la reina de las ciencias”. GAUS.

  3ª “El matemático nace, no se hace”. APOSTOLOS DOXIADIS en su libro “el tío Petros y la conjetura de Goldbach”.

   4ª “Que descansada vida la que huye del mundanal ruido y sigue la escondida senda por donde han ido los pocos sabios que en el mundo han sido”. FRAY LUIS de LEÓN.

  5ª “El progreso se lo debemos a cuatro personas inteligentes que ha habido en los últimos cinco millones de años”. Sr. Felipe camionero.

  6ª “Todos los problemas de MATEMÁTICAS tienen solución”. HERMANO FLORENCIO, (marista).

   Las Matemáticas son consideradas una disciplina difícil; se dice que si a un alumno se le “dan bien las matemáticas” es inteligente, pero ¿le están explicando matemáticas?. El alumno no suele dudar de sus maestros, por lo que cree en ellos; esta fe en los maestros ha llevado a los estudiantes a creer que es verdad todo lo que se explica en las aulas, aunque el profesor, por haber creído, a su vez, al suyo, esté equivocado y, sin pretender engañar a nadie, explica algo que no es vedad. Esta fe en los maestros es la causa de que se admitan como “verdades matemáticas” cosas que no son matemáticas. Las matemáticas son pura filosofía, hay que partir de verdades evidentes, (AXIOMAS), no de supuestas verdades, y razonando con lógica llegar a otras verdades no evidentes por si mismas, (TEOREMAS), no basta con creer una hipótesis, que puede no ser cierta, y razonar después, sin embargo la fe en el profesor es la base de las mal llamadas “matemáticas modernas”, que en muchos casos son ciencia ficción y parecen más una religión que una ciencia.

   Los animales superiores tienen seis sentidos, cinco que comparten con el hombre y el instinto; los humanos debiéramos sustituir éste por el “sentido común o inteligencia”, que al parecer es poco común; la historia de la humanidad es un relato de guerras, casi siempre por motivos económicos y justificadas en nombre de los innumerables dioses en los que ha creído y cree el hombre, lo que demuestra que la especie no es “sapiens”, esto se evidencia a diario en las noticias que dan los medios de comunicación, pues casi todas son la negación de la inteligencia humana. ¿ Será verdad lo que dijo Fray Luis de León ?.

   Ni el T. de Pitágoras, ni el del seno, ni el del coseno, ni el invariante sen².a + cos².a = 1 han sido ESTUDIADOS, y por tanto tampoco APRENDIDOS, por un solo profesor de Matemáticas; al menos desde que P. Fermat demostró, no publicó, pero si enunció el conocido como su “último teorema”, por lo que Fermat puede haber sido el último matemático, al menos el último conocido.

INTRODUCCIÓN

 

   Si buscamos en el diccionario la palabra “matemática” encontramos la definición : “disciplina que estudia, mediante un razonamiento deductivo, las propiedades de los entes abstractos, tales como los números, las figuras geométrica etc”. ( supongo que en “etc” no estarán los espíritus ni otros conceptos religiosos, más propios de la teología que de las matemáticas).

Esta definición es poco precisa, pues si se parte de una mentira de poco sirve un razonamiento deductivo, por muy lógico que sea.

   Las MATEMÁTICAS son Filosofía en estado puro, por tanto no se pueden desarrollar en base a ocurrencias de personas que, supuestamente, son prestigiosos matemáticos, cuando no han estudiado y por tanto no han  aprendido los teoremas que se citan en el último párrafo de la página anterior. Esta afirmación se evidencia a continuación.

   Silogismo filosófico :

   PREMISA GENERAL : Los lados de todos los triángulos son tales que cada uno de ellos es siempre menor que la suma de los otros dos y si son escalenos siempre hay uno mayor, uno intermedio y el otro menor .

   Elegida una unidad de longitud, los tres números  que cuantifican las longitudes de los tres lados son tales que cada uno de ellos es siempre menor que la suma de los otros dos y siempre :si “a” es el número mayor : a < b + c   y   a > b > c.; y siempre : a·p = b, a·q =c, aⁿ·pⁿ = bⁿ y aⁿ·qⁿ = cⁿ

   CONCLUSIÓN :.

   Todas las ternas de números ENTEROS que cumplen estas dos condiciones verifican las ecuaciones que relacionan las unidades de longitud, (números), de los lados de un triángulo.

  Analicemos la ecuación con la que se expresa mal la conjetura de Fermat :

aⁿ = bⁿ + cⁿ

la correcta es, si (a,b y c) son enteros y n > 2 :  aⁿ ¹ bⁿ + cⁿ = aⁿ(pⁿ + qⁿ)

   Es evidente que si  “m < n”, los números ENTEROS : a^m , b^m  y  c^m forman una terna que cumple esas condiciones y por tanto cuantifican las longitudes de los lados de un triángulo y verifican una de las ecuaciones :

a^2m = b^2m + c^2m + 2·b^m·c^m·cos.φ ≠ a^2m(p^2m + q^2m);  (si φ > 90º)

a^2m = b^2m + c^2m = a^2m(p^2m + q^2m)  ( si  φ = 90º)

a^2m = b^2m + c^2m – 2b^mc^m·cos.φ ≠ a^2m(p^2m + q^2m); (si φ < 90º)

   CONCLUSIÓN :

   Como son imposibles las ternas pitagóricas de enteros : (a^m, b^m, c^m) con  (m >1) y sólo es posible p² + q² = 1, no es posible la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ con  ( n > m > 1); la afirmación de Fermat es cierta y queda demostrada. 

Es evidente, para cualquier persona inteligente que haya superado los cursos del bachillerato; (anterior a la ESO) y más aún si además es un licenciado en Matemáticas, Física, Arquitectura o Ingeniería :

   1º) Que todos los números enteros, (a, b, c), si cumplen las condiciones : a > b > c  y  a < b + c, siempre pueden formar una terna de enteros triangulares, ( tres números tales que siempre existe un triángulo cuyos lados se cuantifican con esos números), por ejemplo si el número siete es el mayor, siempre puede formar una terna con los números enteros : seis y dos, seis y tres, seis y cuatro, seis y cinco, cinco y cuatro, cinco y tres.

   2º) el número siete siempre, sin una sola excepción, verifica las ecuaciones :

7² = 6² + 2² +2·6·2·cos.a       7² = 6² + 3² + 2·6·3·cos.b

7² + 2·6·4·cos.c = 6² + 4²      7² + 2·6·5·cos.d = 6² + 5²

7² = 5² + 3³ + 2·5·3·cos.f      7² = 5² +4² + 2·5·4·cos.g

   Y en general :                a² = b² + c² + 2bc·cos.j   (si “j” > 90º)

                       a²  + 2bc·cos.φ = b² + c²   (si “φ” < 90º)

   Sólo si “φ = 90º” :        a² = b² + c² = a²( cos².α + sen².α) = a²(p² + q²)

 En este caso tenemos una terna de enteros triangulares pitagóricos, sólo  en este caso es posible la ecuación con tres números; por ser (p² + q²) = 1,en todos los demás la ecuación impone que sean cuatro, por tanto la ecuación :

aⁿ = bⁿ + cⁿ.

con sólo tres números impone que : φ = 90º ya que si φ  ≠ 90º, la ecuación sería :   aⁿ = bⁿ + cⁿ ± 2·b^n/2·c^n/2·cos.φ       o la       aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ     (1)

  3º) todas las ternas de enteros pitagóricos en las que se verifica la ecuación, con  aⁿ  y  n > 2, son las que verifican la ecuación  :

aⁿ = a^n-2·b² + a^n-2·c²  =  aⁿ(p² + q²);                  (p² + q²) = 1

por tanto las ternas son :  ( a^n/2 ,  a^{(n –2)/2} b ,  a^(n-2)/2c)          

   Por tanto es imposible la ecuación con enteros, si n > 2 :

aⁿ = bⁿ + cⁿ = aⁿ(pⁿ + qⁿ)          pⁿ + qⁿ ¹ 1= p² + q²

   Es evidente que la ecuación  anterior IMPONE que la terna triangular : (a^n/2 , b^n/2 , c^n/2) y en general con : m = n/2, (a^m , b^m , c^m), sea una terna pitagórica en la que al menos uno de ellos es la raíz cuadrada de un entero; pero un radical no entero, sin embargo la terna con enteros (a, b, c) lo es de un triángulo no rectángulo, que verifica la ecuación :   

aⁿ = a^2m = b^2m + c^2m ± 2·b^m·c^m·cos.φ = bⁿ + cⁿ ± 2·b^n/2·c^n/2·cos.φ    (1)

en la que el número : 2b^mc^mcos.φ también es entero

   Yo pienso que P.Fermat si estudió el T. de Pitágoras, de donde dedujo su afirmación, que no es un teorema, es un corolario deducido del T. de Pitágoras, que  es un caso singular del T. del coseno, aunque se demostrara antes que éste y de él se dedujera el del coseno.

Analicemos la ecuación:

aⁿ = bⁿ + cⁿ

si dividimos por aⁿ, tenemos     : bⁿ/aⁿ + cⁿ/aⁿ = 1= sen².α + cos².α

por tanto (aⁿ, bⁿ, cⁿ) son los cuadrados de los números que cuantifican la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

   Todo el mundo conoce la existencia del teorema de Pitágoras, no todo el mundo conoce su demostración y al parecer nadie le ha investigado para encontrar las verdades matemáticas que de él se deducen, no todo el mundo conoce la existencia de los teoremas del seno y del coseno ni del invariante sen².a + cos².a = 1 y nadie los ha estudiado y por tanto tampoco ha aprendido los corolarios que, con un razonamiento lógico, de ellos se deducen, entre los que está la solución a la conjetura de Fermat

   Parece ser que nadie sabe que los senos y cosenos de  todos los ángulos  son siempre el cociente de dos raíces cuadradas de enteros y cuando esas raíces son tres enteros tenemos una terna de enteros pitagóricos; (corolario deducido del invariante : sen².α + cos².α = 1)

   La pista de que Fermat si tenía una demostración maravillosa está en el libro de Diofante, que él estaba investigando, en cuyo margen escribió su afirmación; no la publicó por encontrarla tan sencilla y “maravillosa”que lanzó un reto a sus colegas, lo que era normal en Fermat, les enviaba un problema y además les decía que él ya lo había resuelto, actitud que los ¿incomodaba?, más bien los cabreaba.

   Lo más probable es que lo dedujera de la ecuación (1), ya que siempre :

aⁿ = a^(n-2)·b² + a^(n-2·)c²

y esta ecuación es la única posible en la que se puede descomponer el número entero “ aⁿ “en dos números que son, cada uno de ellos,“producto de potencias de dos enteros”, pero no en dos potencias de dos enteros.

   Analicemos la ecuación :    a = b + c     ecuación con tres números, por tanto los números  : ²√a,²√b y ²√c son las unidades de longitud (u.d.l) de la hipotenusa y de los catetos de un triángulo rectángulo; si tomamos a = 4 , es evidente que : (2,√3 y 1) son las u.d.l de los lados de un triángulo de ángulos (90º, 60º y 30º); si tomamos a = 9, podemos tener cuatro triángulos rectángulos con las raíces de las ternas de enteros : (9,8,1),(9,7,2),(9,6,3) y (9,5,4), entre las que tenemos la que resuelve el problema de Catalán, la : (√9 =3,√8 = 2·√2, √1 =1), es decir (3,2√2,1), tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa 3 u.d.l, un cateto de 2√2 u.d.l y otro de 1 u.d.l.

   La ecuación de Catalán es : y² = x³ + 1, ecuación con tres números, por tanto la terna (y,√x³,1), cuantifica la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo y el único posible con esta terna es el de lados de 3 u.d.l, 2√2 u.d.l y 1 1 j.d.l. y sus cuadrados son : (9,8,1)

   Entre las ternas con 5² = 25 : (25,24,1), (25,23,2)·······(25,13,12), está la de cuadrados perfectos, (25,16,9), ya conocida, (entre otras), por los sumerios y muy probablemente por los egipcios; del T. de Pitágoras se deduce que la terna de enteros (5,4,3) cuantifica la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. ¿Conocían los sumerios y los egipcios este triángulo rectángulo?

 

    En algunos documentales emitidos en televisión he visto que hay famosos profesores de física que identifican Espacio y Universo, siendo conceptos diferentes, por eso incluso afirman que el espacio es curvo, cuando lo que es curva es la trayectoria de la luz, por refractarse al atravesar las atmósferas de los distintos cuerpos celestes que tienen atmósfera.

   El ESPACIO es un concepto sin límites, desde cualquier punto que tomemos como origen de todas las innumerables rectas posibles, esas rectas no tienen fin, por tanto todos los puntos son el centro del espacio; es un concepto inmaterial, concreto, continuo, eterno e invisible, (no ha tenido principio ni tendrá fin),   El universo es un concepto con límites, [todo el universo del que formamos parte, (somos materia del universo), cabe en el interior de una esfera], es el conjunto de estrellas, planetas, satélites, cometas, asteroides etc y sus espacios interestelares, y en último término un conjunto de protones. neutrones, neutrinos, electrones, etc, (éstos últimos, ¡ todos !, son invisibles); o sea masa y energía; el universo ocupa un volumen del espacio tan pequeño, con relación a éste que el cociente del volumen de un neutrón/volumen del universo es infinitamente mayor que el cociente del volumen del universo/volumen del espacio.

   Igualmente ocurre que prestigiosos profesores de matemáticas no diferencian los conceptos : “punto”, “longitud”, “superficie”, “volumen” y “número”, todos son conceptos descubiertos, no inventados, por el hombre;  los cuatro primeros son espaciales, están en el espacio, el número es un concepto inmaterial, pero no espacial

   Aritmética y Espaciometría, (Geometría en el Espacio), forman una ciencia conocida como matemáticas, totalmente independiente de las demás, (sólo depende de la inteligencia), mientras que las ciencias experimentales dependen de la inteligencia, de medios materiales y de las Matemáticas.

   El desarrollo de las Matemáticas se fundamenta en verdades evidentes por si mismas relacionadas con los conceptos sin masa : NÚMERO, PUNTO, LONGITUD, SUPERFICIE, VOLUMEN y ÁNGULO, es decir de conceptos inmateriales, tan reales y naturales como el espacio, pero tan intangibles como los dogmas religiosos, pero no tienen ninguna relación con las religiones y por tanto con la TEOLOGÍA, ni con la FE, no es una ciencia basada en dogmas que haya que admitir porque lo dice un teólogo, un profeta, o un gurú, (de las matemáticas), por el contrario se trata de una ciencia basada en verdades evidentes por si mismas, premisas generales, (AXIOMAS), y a partir de ellas, mediante un razonamiento deductivo y  lógico, (por tanto inteligente), se demuestran otras verdades que no son evidentes por si mismas, (TEOREMAS), y de los teoremas, con razonamientos deductivos y lógicos, (silogismos) se obtienen los COROLARIOS, (conclusiones que también son verdad).

   Las Matemáticas se desarrollan mediante la LÓGICA de la Filosofía, pero las mal llamadas matemáticas modernas parten, en muchos casos, de conceptos que no existen, por tanto no son reales, y de la nada no se puede sacar algo real, por tanto no parten de AXIOMAS, por lo que son una auténtica aberración y una desgracia para las ciencias, en general, y para los profesores y estudiantes de matemáticas en particular; los profesores llevan siglos explicando cosas absurdas que los estudiantes no podíamos admitir, pero que teníamos que creer, (o fingir creer), como se cree en los dogmas.

   La Lógica es el fundamento del razonamiento deductivo que lleva al conocimiento de la verdad, y las MATEMÁTICAS son la ciencia de la verdad, pero para llegar a conclusiones que son verdad es condición imprescindible partir de verdades evidentes, o demostradas, es decir de AXIOMAS y TEOREMAS pues cualquier razonamiento, por lógico que sea, si se basa en una mentira conduce a una conclusión que es una falacia; en Filosofía se dice que conduce a un SOFISMA, es famoso el de Zenón, la deducción de Zenón es correcta y puede conducir a engaño, pero parte de una premisa falsa, y las indebidamente llamadas “matemáticas modernas”, cuando no parten de una verdad, lo que ocurre casi siempre, llegan a conclusiones que son SOFISMAS matemáticos, es decir mentiras.

AXIOMAS :

   El espacio es ilimitado, desde cualquier punto y en cualquier dirección en que tomemos una recta esa recta no tiene fin, por tanto podemos concebir infinitas rectas partiendo del mismo punto, si elegimos una, sólo podemos concebir otras dos, tales que las tres sean perpendiculares entre si, por tanto las “dimensiones” del espacio son tres y cualquier volumen tiene tres dimensiones y sólo tres.

   Volumen : es un concepto con tres dimensiones.

   Superficie : es un concepto con dos dimensiones.

   Longitud : es un concepto con una sola dimensión.

   Punto : es un concepto sin dimensiones, inmaterial, indivisible y por tanto verdadero significado de la palabra ÁTOMO.

   Ángulo : es un concepto inmaterial, asociado a dos, o a tres longitudes que parten del mismo punto.

   Número : Hasta ahora no he oído ni leído una definición del concepto número, distinta de : “un concepto abstracto”, siendo sus elementos : “los números”,  utilizados por la mente humana desde los albores de la humanidad. El número como concepto es un conjunto de elementos a los que también llamamos “números”, lo que no parece muy original, (los pastores a un conjunto de borregos no le llaman “borrego”, le llaman rebaño). El número es un concepto inmaterial, sin forma, compuesto por elementos a los que también llamamos “números”, con unas características únicas que los diferencian de los elementos de cualesquiera otros conceptos, materiales o abstractos. Es el ÚNICO CONCEPTO en el que uno cualquiera de sus elementos, un número, se puede multiplicar por si mismo y por todos los demás números, siendo el resultado de la multiplicación también un número, (un elemento del mismo concepto), es además discontinuo, a partir de cero ilimitado, todos, menos el uno, son potencias y raíces de otros números y no hay dos números iguales.

   De una manera análoga a la identificación de una persona mediante su D.N.I, la identificación de algunos números se consigue con la utilización de un nombre y un símbolo o combinación de símbolos; el hombre utilizó los “números” hace miles de años pero los símbolos actuales sólo desde hace unos cientos y, lo mismo que las figuras geométricas, los símbolos son masa o grabaciones sobre masa y hay que tener claro que lo mismo que un documento de identidad no es una persona, un símbolo no es un número.

   La identificación de un número mediante un símbolo, (o combinación de símbolos), sólo es posible, (en base diez), con los decimales, pero los no decimales, por ejemplo el número de nombre “raíz cúbica de tres”, no se puede escribir en base diez, no hay un símbolo; los símbolos en base diez son : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; y el símbolo “0”, que se utiliza para cuantificar algo que no existe, o negar su existencia, pero colocado detrás de cualquier otro símbolo de un entero, es el símbolo del número diez veces superior al anterior; nadie, supongo, confunde a un individuo con su D.N.I, pero casi todos los que han enseñado matemáticas no han distinguido entre los números y sus símbolos, lo cual es una aberración, pongamos un ejemplo aclaratorio : supongamos que un profesor de matemáticas coge en su mano su D.N.I y coloca delante de la foto y del símbolo de su número de identificación el símbolo de la resta; este simple hecho no hace que ese profesor deje de ser un individuo de la especie Homo y un profesor, para convertirse en un individuo negativo (Homo negativo) y un (profesor negativo), lo que sería un milagro, sin embargo, según explica él, la foto no, pero el número, no su símbolo, se ha convertido en un número negativo, (un milagro); pero negativo proviene de negar y para negar, en MATEMÁTICAS, se utiliza el CERO, negativo procede de “negar”, no de restar; restar es una operación aritmética mediante la cual de una cantidad de cualquier concepto, material o inmaterial se segrega otra cantidad menor; pongamos un ejemplo aclaratorio : supongamos que en un aula hay sólo treinta alumnos, si salen fuera trece alumnos es evidente que quedan dentro diez y siete, es más evidente aún que si hay sólo treinta no pueden salir cuarenta y siete y quedar dentro menos diez y siete alumnos ; ¿Por qué se admite que con los símbolos, la resta es  : 30 - 47 º - 17, y - 17 es un número negativo?, es cierto y por tanto verdad, que : 30 - 47 + 17 º 0, ya que existe el número 30 + 17 º 47, pero los símbolos : + y - no cambian al número diez y siete ni a su símbolo el  17, para que pueda ser verdad que :

30 alumnos - 47 alumnos º - 17 alumnos,

aún siendo (30 - 47 + 17 ) alumnos º 0 alumnos, es preciso que haya 47 alumnos, no basta con 30 alumnos para realizar una resta de 47 alumnos y tampoco para la operación aritmética : 30 – 47.

   Que decir del profesor que encontrándose en un aula vacía de alumnos intentase llenarla escribiendo : “30i alumnos” y para convertirlos en alumnos reales hace la multiplicación : (30i·alumnos)·i³ = 30 alumnos, a los que sólo les falta que les den de alta en el censo; ¡Que pocas matemáticas sabía Elohim = Yave = Alá!, que tuvo que mancharse con barro para hacer un mal alumno.

   Con los números ocurre exactamente igual, aunque no podemos meter en un bombo, o en un aula, cuarenta y siete números, ya que los números son tan inmateriales como los espíritus y algunos dioses, si que podemos meter en un bombo tantas bolas como deseemos, con los “nombres”, de tantos números como bolas.

   Supongamos que metemos siete bolas y grabamos el nombre de un número en cada una : cinco, raíz cuadrada de dos, raíz cuadrada de siete, raíz cuadrada de treinta y tres, raíz cúbica de cuarenta y siete, raíz cúbica de once, raíz cuadrada de noventa y siete;  siete números, es evidente que si sacamos cinco bolas quedan dos en el bombo, pero si sacamos sólo la bola en la que está grabado “cinco”, quedan seis, no dos, pero no podemos sacar trece bolas con trece nombres y dejar en el bombo menos seis bolas y, menos aún, “menos seis números”.

   Los números, como los profesores, los alumnos y los espíritus, no son ni positivos ni negativos, (lo opuesto o contrario de negativo es AFIRMATIVO, no positivo), éstos son dos adjetivos absurdos, tan absurdos como que en un prado en el que pastan dos caballos, uno tordo y otro alazán, si escribimos “- tordo” tenemos no un (tordo negativo), sino un (caballo negativo) ¿Uno come hierba y otro la repone?.

   Desde que un iluminado, teólogo, profeta o gurú, introdujo el concepto absurdo de número negativo, y otro el también absurdo de número imaginario, como dogmas, pues no son axiomas, ni teoremas, ningún profesor, matemático o no, ha utilizado su inteligencia, (deseo que los haya habido y los haya mucho más inteligentes que yo), para razonar y deducir que esos conceptos no existen, por lo que los profesores de estas falsas matemáticas se han convertido en clérigos de una religión sin dios; tengo la esperanza de que alguno, inteligente, mediante un razonamiento deductivo y lógico, comprenda que las Matemáticas no son una religión, basada en la FE, ésta queda para los creyentes en los más de un millón de dioses, que todavía son adorados por millones de individuos de la especie que se autodenomina “Homo sapiens sapiens”. El hombre se diferencia de otros animales más por sus guerras, por creer en multitud de dioses, sus mentiras y otras malas cualidades, ausentes en los animales, que por ser sabio e inteligente, por tanto debe ser clasificado como “Homo bellicum religiosus”, al menos en tanto no evolucione hasta convertirse en una especie inteligente, lo que no parece muy probable, pues está evolucionando a más belicoso, terrorista, genocida y criminal que nunca, y últimamente es la única especie en la que hay hembras que matan impunemente a sus hijos antes de que hayan nacido, crimen contra-natura, que igual que la guerra, el genocidio y el terrorismo, está consentido o legitimado en algunos países, entre ellos en España.

   La conocida como multiplicación geométrica precisa de tres (o cinco) elementos : dos longitudes en dos rectas diferentes que parten de un punto y forman un ángulo, cuyo seno es el tercer factor que interviene en la multiplicación, siendo el resultado de la misma (en este caso) una superficie y no una longitud o un ángulo; para definir un volumen hacen falta una superficie, una longitud y un ángulo.

   Como para el estudio de las matemáticas es necesario, con frecuencia, la utilización de números desconocidos es preciso utilizar símbolos distintos de los de la base, por lo que es deseable usarlos de acuerdo con unas normas que no compliquen más la comprensión de lo que se expone, aquí se van a utilizar :

   1º) Para números desconocidos, las primeras letras del alfabeto latino y cuando hay que utilizar muchas se recurre a los subíndices.

   2º) Para los conceptos espaciométricos las letras “P”, “l”, “s”, “v”, ”x, l_x”, “y, l_y”, “z, l_z, y “r”, punto, longitud, superficie, volumen, unidades de longitud en los semiejes cartesianos y longitudes paralelas a ellos, y unidades de la distancia de un punto al origen de coordenadas, (radio de una esfera con centro en el origen), respectivamente.

   3º) Para los ángulos letras del alfabeto griego

   4º) Como no hay dos números iguales lo correcto sería utilizar, en las ecuaciones aritméticas, el símbolo “≡”, (idéntico), ya que el número de la izquierda es “el mismo” que el de la derecha, 3 + 2 ≡ 5, la lectura correcta de esta ecuación es : el número tres más el número dos es el número cinco;  en las espaciométricas, como hay infinitas longitudes, superficies, volúmenes y ángulos iguales se debe utilizar el símbolo “=”, (igual).

   Para que una ECUACIÓN ESPACIOMÉTRICA pueda sustituir a una ARITMÉTICA es necesario y suficiente que sea posible una IDENTIDAD ESPACIOMÉTRICA.

   Para que, elegida una base de numeración, una ecuación espaciométrica pueda sustituir a una ecuación aritmética, y tenga solución en esa base, tiene que ser posible una identidad espaciométrica, por ejemplo en la conjetura S.T.W :

 

 

   EN LA ECUACIÓN :

y² = x(x-aⁿ)(x+bⁿ) = x³ + (bⁿ·- aⁿ) x² – (ab)ⁿ·x

 

es más que evidente que si “a” y “b” son números “x” e “y” son dos variables continuas que toman sus valores en los semiejes OX y OY, por tanto : y^y²   y  x^f(x) = x³ + (bⁿ – aⁿ)x² – (a·b)ⁿ·x.

   En las aulas se nos dijo que : z = x(x - a)(x + b) es el producto de tres rectas, lo que no es cierto, es una falacia, pues en el mejor de los casos, el producto de tres rectas es un volumen, (no una longitud), para lo que es preciso ADEMÁS que partan de un mismo punto y además se conozcan los senos de los ángulos correspondientes, lo que no ocurre en este caso; también se nos explicó que : z = r² es la ecuación de una superficie de revolución, de segundo grado, lo que es otra falacia, pues en espaciometría “r² = l_z” = z, sólo significa que : l_z  (y por tanto r²) es la coordenada (segmento de una recta paralela a OZ) de un punto, en una superficie de 2º grado, cuyas otras dos coordenadas son :     (l_y = y, l_x = x); y cuando “r” está en el eje OY, “r ≡ y”; y cuando está en el eje OX, “r ≡ x”, y por tanto : r = x = y ; así mismo se nos dijo que la ecuación :

z = x³ + (bⁿ – aⁿ)x² – (ab)ⁿx

es la ecuación de una curva de tercer grado, lo que es otra falacia, pues como en la ecuación anterior : z = l_z = x³ + (bⁿ – aⁿ)x² – (ab)ⁿx, es la coordenada “l_z” de un punto, en una superficie de 3^er grado.

   En la ecuación se igualan dos coordenadas “l_z” de dos puntos, uno situado en una curva de segundo grado y el otro en una de tercer grado, para que exista identidad es preciso que encontremos las coordenadas de puntos comunes a las dos superficies, si las hay, en las que se encuentran esas dos curvas, es decir encontrar las curvas intersección de ambas superficies. 

   Es evidente que existe un paraboloide y los puntos situados en él y las  coordenadas “l_z = z” están definidas por z = l_z = r² = (x² + y²)^2/2; los puntos situados en él tienen las coordenadas :

l_x = x,  l_y = y, l_z = r² = x² + y² = z

por tanto :                     l_x = 0,  l_y = y, l_z = y² = r² = (0 + y²)

son las coordenadas de un punto situado en el paraboloide y en el plano cartesiano en que están los semiejes OY y OZ.

   Haciendo igual razonamiento en la superficie de tercer grado, los puntos situados en ella tienen las coordenadas :

l_x = x, l_y = y, l_z = r³ + (bⁿ – aⁿ)·r² – (a·b)ⁿ·r = z; pero siempre : r = (x² + y²)^1/2 

l_z = (x² + y²)^3/2 + (bⁿ + aⁿ)·(x² + y²) – (a·b)ⁿ·(x² + y²)^1/2

por tanto : l_x = x, l_y = 0, l_z = x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – (a·b)ⁿ·x

son las coordenadas de un punto situado en esa superficie y en el plano cartesiano en que están los semiejes OX y OZ.

   Las dos superficies se pueden cortar, o no, dependiendo de los valores de “a” y “b”.

   La ecuación que nos da las coordenadas comunes de puntos situados en el paraboloide y en la superficie de tercer grado son las soluciones de la ecuación :

 

l_z = r² = r³ + (bⁿ – aⁿ)·r² – (a·b)ⁿ·r  (2)

en la que :                           r = (x² + y²)^1/2

   Una solución es  :  r = 0, por tanto : x = 0, y = 0, z = 0

por tanto un punto situado en las dos superficies es el origen de coordenadas.

  Para valores de “a” y “b” tales que :

(bⁿ – aⁿ - 1)·r² > (a·b)ⁿ·r

es evidente que las superficies no se cortan, por tanto, en este supuesto no hay soluciones posibles.

Si : (a·b)ⁿ·r > (bⁿ – aⁿ -1)·r²

Las dos superficies se cortan en dos circunferencias situadas en dos planos paralelos al plano cartesiano en que están los semiejes OX y OY y el valor de l_z = z = r², en la que “r” es la solución de la ecuación :

r = r² + (bⁿ – aⁿ)·r – (a·b)ⁿ

o lo que es igual :            r² + (bⁿ – aⁿ – 1)·r – (a·b)ⁿ = 0 

ecuación que tiene dos soluciones, pero no con enteros.

Si :       (ab)ⁿ·r = (bⁿ – aⁿ - 1)·r²     r = 1 = x = y

    Es evidente que si : x = 0, r = y, y si : y = 0, r = x.

Por tanto si x = 0 :           l_z = y² = y³ + (bⁿ – aⁿ)·y² – (a·b)ⁿ·y

y si y = 0 :                        l_z = x² = x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – (a·b)ⁿ·x

   Estas dos ecuaciones y la (2) tienen las mismas soluciones aritméticas.

   Cualesquiera que sean los números “a ¹ 0” y “b ¹ 0”, esta ecuación carece de solución con “r = x = y ¹ 1” en base diez, (ni entero ni decimal exacto), y tampoco tiene alguna relación con el T. de Fermat, por más que hayan tratado de relacionarla estudiantes a los que se les “dieron bien las matemáticas” por tanto inteligentes como Kummer, Shimura, Taniyama, Weil, o Wiles, entre otros, (hombres con fe en sus maestros), que no cuestionaron los dogmas de la existencia de números negativos, imaginarios, longitudes negativas y otros inventos absurdos de algunos gurús de las matemáticas, sin embargo consideraron los teoremas de Pitágoras, del seno, del coseno, el invariante numérico sen².α+ cos².α = 1 y la C. de Fermat como una curiosidad, siendo teoremas fundamentales de las matemáticas; lo anterior invalida la demostración de Wiles.

   El teorema o conjetura de Fermat se viene expresando mediante la ecuación :

zⁿ = xⁿ + yⁿ

   Si : “z”, “x” e “y” son números la ecuación es válida, pero para que sea útil como ecuación de variables continuas y estudiar todos los valores posibles de las tres variables y ver si hay soluciones con enteros, es evidente que no sirve, pues z^zⁿ y por tanto es imposible la identidad, en el espacio : 

zⁿ = xⁿ + yⁿ

   Es evidente que existen superficies, tantas como valores de “n”, más o menos acampanadas, en las que se encuentran los puntos de coordenadas :

P(l_x = x, l_y = y, l_z = xⁿ + yⁿ)

Es evidente que z = zⁿ es imposible para n ≠ 1, pero además, para que sea posible la identidad, las tres variables tienen que estar en el mismo plano, para que   la coordenada l_z sea la misma : l_z = xⁿ + yⁿ

Por tanto la única ecuación posible, en el espacio es :

r_xyⁿ = xⁿ + yⁿ

Es evidente que existen superficies acampanadas, tantas como valores de “n”, en las que las coordenadas de los puntos situados en ellas son :

P(l_x = x, l_y = y, l_z = rⁿ)

Es evidente, también, que “l_z” tiene que estar en la paralela al semieje “Z” y ser la misma que la coordenada :

l_z = xⁿ + yⁿ

por tanto como siempre :

 r_xy = (x² + y²)^1/2 = rⁿ

Es evidente que la única identidad posible en :

l_z = (x² + y²)^n/2 ≡ xⁿ + yⁿ

es : l_z ≡ (x² + y²)^2/2 ≡ x² + y²

ya que la única superficie común a las dos familias de superficies, es el paraboloide, ya que si n > 2 y “x”, “y” y “r_xy” son mayores que uno, todas las superficies cuyos puntos situados en ellas tienen las coordenadas z = rⁿ, son interiores a las otras cuya z = xⁿ +yⁿ,  por tanto es evidente que no puede haber más soluciones con las mismas coordenadas, que las de los puntos situados en el paraboloide y por tanto la única ecuación posible, en términos geométricos, (espaciométricos), es :

r_xy = (x² + y²)^2/2 ≡ x² + y²

   En lugar de la palabra tradicional “Geometría”, se va a utilizar también “Espaciometría”, ya que los conceptos usados en matemáticas son conceptos espaciales y no conceptos ligados a la tierra; se conservará “Geometría” ya que es la expresión tradicional conocida.

  Antes de entrar a estudiar los conceptos espaciométricos se expone la desconocida ECUACIÓN de MARCELO que relaciona todos los NÚMEROS y sus potencias, es por tanto una ecuación fundamental por ser, con toda seguridad, si no la más, si de las más importantes de las  MATEMÁTICAS.

Sean ® a > b > c > d > e > f >······( números ), es evidente que existen los números : p, q, t, u, w, ···· , números tales que con ellos se verifican las ecuaciones : a·p = b ,    a·q = c ,    a·t ) d ,    a·u = e ,    a·w = f ·········

aⁿ·pⁿ = bⁿ , aⁿ·qⁿ = cⁿ , aⁿ·tⁿ = dⁿ , aⁿ·uⁿ = eⁿ , aⁿ·wⁿ = fⁿ ·······

aⁿ·(pⁿ + qⁿ + tⁿ + uⁿ + wⁿ + ····) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + eⁿ + fⁿ + ···

ecuación de Marcelo, independiente de la base de numeración que podamos utilizar, que se verifica con TODOS los números, cualquiera que sea el índice “n” del exponente; si personas tan inteligentes como los cinco citados hubieran conocido esta ecuación, fundamental para el estudio de los números, la C: de Fermat hubiera sido demostrada antes de que un simple pastor de ovejas, al que el H. Florencio, (que dicho sea como un inciso y sin tratar de ofender a ninguno de los buenos profesores de los que he recibido enseñanzas fue el mejor profesor que he conocido), obligó a cambiar la cachava y el zurrón por los libros, encontrara una veintena de demostraciones de esta conjetura.

   Si tomamos “a”, “b”, “c”, “d”, “e”  , números enteros en base diez es evidente que en la ecuación de Marcelo puede haber hasta “a” variables independientes y   a-1 variables dependientes ( p, q, t, u  ····· ), pero las variables independientes no son ortogonales, pues “a”, “b”, “c”, ······· son números y no longitudes, sin embargo si tomamos variables longitudinales independientes, podemos tomar tres como máximo ( x, y, z ), por lo que resulta decepcionante oír a profesores de matemáticas que ¡ trabajan ! con variables en más de tres dimensiones, cuando no hay nada más que tres, es evidente que desconocen el concepto dimensión y confunden las variables numéricas, independientes pero no ortogonales, con las longitudinales independientes y ortogonales, siendo como son conceptos distintos.

   Las ecuaciones más precisas de Pitágoras y Fermat son las de Marcelo :

a²·(p² + q²) = a²·(cos².α + sen².α) = b² + c²

aⁿ·(pⁿ + qⁿ) = aⁿ·(cosⁿ.α + senⁿ.α) = bⁿ + cⁿ

Fermat se percató, pero no publicó, que :

pⁿ + qⁿ = cosⁿ.α + senⁿ.α ≠ 1, si n ≠ 2

 

ESPACIOMETRÍA ELEMENTAL

 

   El Teorema de Pitágoras se explica a los alumnos de Enseñanza Media, como una curiosidad, no como un Teorema fundamental de métrica en el plano y por tanto de las Matemáticas, por eso nadie le ha aprendido, afirmación que se pone en evidencia a continuación.

   Hace más de 2500 años que Pitágoras demostró, con independencia del sistema métrico que se utilice, que cualquiera que sean las longitudes de la hipotenusa “h = l_h” y de los catetos “c₁ = l₁“ y “c₂ = l₂“ de cualquier triángulo rectángulo, las superficies de los tres cuadrados de lados iguales a “h”, “c₁” y “c₂”, S, s₁ y s₂ respectivamente se verifica la ecuación :

S = s₁ + s₂

   Las ecuaciones (multiplicaciones geométricas) que expresan estas superficies son :

S = h·sen.90º·(l_h = h); s₁ = c₁·sen.90º·(l₁ = c₁ )  y  s₂ = c₂·sen.90º·(l₂ = c₂)

S = h·sen.90º·l_h = c₁·sen.90º·l₁ + c₂·sen.90º·l₂

Es evidente : que h·sen.0º·h = 0, o sea, no hay superficie y que la ecuación : h·h = h² , si “h” es una longitud, es absurda, y la ecuación : h·l_h = S_h , es una superficie indeterminada, pues falta el tercer factor y por tanto sería, en el mejor de los casos, una superficie comprendida entre cero y S.

En esta ecuación las superficies “S”, “s₁” y “s₂” no están cuantificadas, por lo que la misma superficie se expresa con números distintos, dependiendo de la longitud tomada como unidad.

y  si h = a metros, c₁ = b metros y c₂ = c metros, como sen.90º = 1 :

S = a² metros cuadrados = ( b² + c² ) metros cuadrados

   Los números “a”, “b” y “c”, aunque sólo excepcionalmente están los tres en base diez, son unidades de longitud, (no son longitudes), y los números A = a², B = b² y C = c² son unidades de superficie, (no son superficies), estos siempre están en base diez, o bien los tres son múltiplos o submúltiplos, de números en base diez.

   En estas ecuaciones se indica claramente que ni la hipotenusa ni los catetos se multiplican por si mismos, se multiplican por longitudes iguales, con las que forman ángulos de 90º, pues h·h = 0, c₁·c₁ = 0 y c₂·c₂ = 0

   Se está confundiendo constantemente la longitud con las unidades de longitud, éstas son números; longitud y número son conceptos diferentes.

   Las ecuaciones que relacionan las longitudes “h”, “c₁” y “c₂” son :

h·cos.α = c₁ , h·sen.α = c₂  , h·(cos.α + sen.α ) = c₁ + c₂ ··· c₁^c₂

pero nunca  hⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β ) = c₁ⁿ + c₂ⁿ , pues  hⁿ = c₂ⁿ = c₁ⁿ = 0

   Las ecuaciones que relacionan las unidades de longitud, (números), son, con :    α + β = 90º :

a·cos.α = b , a·cos.β = c , aⁿ·cosⁿ.α = bⁿ , aⁿ·cosⁿ.β = cⁿ

a·( cos.α + cos.β ) = b + c y la de Marcelo :

aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β ) = bⁿ + cⁿ = aⁿ·(cosⁿ.α + senⁿ.α)

   ES EVIDENTE QUE : sen. y cos. SON NÚMEROS Y POR TANTO DISCONTINUOS, por tanto no son derivables.

   La expresión aritmética más correcta del T. de Pitágoras es :

a²·(cos².α + cos².β ) = a²·(cos².α + sen².α ) = b² + c²

   En la multiplicación geométrica de tres longitudes que parten de un punto se precisa de dos ángulos y el producto es un volumen :

v = l₁·sen.w·l₂·sen.v·l₃

   Si l₁, l₂ y l₃ son perpendiculares podemos tomarlas en los ejes de coordenadas y     v = x·sen.90º·y·sen,90º·z = x·y·z.

ALGUNOS COROLARIOS ( verdades deducidas del teorema)

 

   1º) Es evidente que si : b²/a² + c²/a² = B/A + C/A = 1; A, B y C son tres números enteros o bien múltiplos o submúltiplos de enteros, mientas que “a”, “b” y “c” lo son excepcionalmente, ya que son siempre raíces cuadradas por lo que  “cos.α = b/a” y “cos.β = c/a” son siempre cocientes de raíces cuadradas de enteros; estas verdades, al parecer, son desconocidas por los profesores de matemáticas, pues de otra forma es incomprensible que la conjetura de Fermat no haya sido demostrada después de casi trescientos años de su enunciado; pues la supuesta demostración de Viles no es válida, llega de forma engañosa a una verdad intuida pero no demostrada.

   2º) Es evidente que siempre que tenemos tres números A, B y C si se verifica que A = B + C, las longitudes rectas de : √A unidades, √B unidades y √C unidades siempre pueden formar un triángulo rectángulo, sean o no √A,√B y √C números en base diez, (sólo excepcionalmente lo son); por ejemplo si A = 11, B = 8 y C = 3; es seguro que existen infinitos triángulos rectángulos de lados √11 metros, √8 metros y √3 metros y de √11 pulgadas, √8 pulgadas y √3 pulgadas o cualquiera otra unidad de longitud, y en este caso los tres lados se cuantifican con números sin escritura decimal.

   3º) Es evidente que si “p” es un número, existen tres superficies : S_a = A·π, s_b = B·π y s_c = C·π y si A = B + C, S_a = s_b + s_c , por tanto existen tres cuadrados de lados a√π, b√π y c√π y tres círculos, de radios r = a, r₁ = b y r₂ = c, cuyas superficies son exactamente iguales a S_a, s_b y s_c por tanto, si “pi” es un número, existen cuadrados y círculos con iguales superficies, sólo imposible la igualdad si “pi” no es un número.

  4º Si la longitud de la circunferencia se puede deducir integrando :

l = ∫r·dφ = r·φ = 2·π·r, ¡π es un ángulo!. ¿Es, o no, “pi” un número?

   Es evidente que existe una longitud de “pi metros” y otra de ³√3 metros, por tanto existen los números   “pi (π)” y  ³√3,  pero no en base diez.

   5º) Es evidente que todos los números enteros pueden ser las unidades de longitud de hipotenusas de h = a unidades, por tanto entre los INFINITOS triángulos rectángulos de h = a unidades, sólo hay a-1 triángulos en los que uno de los catetos se cuantifica con un entero y el otro siempre con la raíz cuadrada de un número entero, pero sin escritura y por tanto fuera de la base de numeración, con la excepción posible de que “a” forme parte de una terna de enteros pitagóricos.

   6º) Es evidente que si existe una terna de enteros pitagóricos “a”, “b” y “c” en todas las demás ecuaciones posibles : B + C = A = D + G = d² + g² si “d” es entero “g” y todas sus raíces de índice entero carecen de escritura, pero : a·p = b, a·q = c, a·p₁ = d , a·q₁ = g ; y siempre :.

p² + q² = p₁² + q₁² = 1

aⁿ·(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ ,      ·aⁿ·(p₁ⁿ + q₁ⁿ)·= dⁿ + gⁿ·

es evidente que si n > 2       pⁿ + qⁿ < 1   y   p₁ⁿ + q₁ⁿ < 1

   Cualquiera que sea el número A, en base diez, si se verifica :

A = B + C = D + G = ·····

Tenemos las cuatro posibilidades, con A, B, C, D, G ······ enteros, que probablemente fueron conocidas por FERMAT:

   1ª) Que siendo A entero no lo sea √A; p.ej. 11 = 10 + 1 = 9 + 2 = 8 + 3 = 7 + 4 = 6 + 5; en este supuesto como √11 > 3 , de las raíces cuadradas de los once números enteros sólo hay tres enteros, (el tres, el dos y el uno, respectivamente), que cuantifican tres catetos, en tres triángulos diferentes, la hipotenusa y los demás catetos se cuantifican con números no decimales, es decir sin escritura en base diez.

   2ª a) Que siendo entero “A” también lo sea  √A p.e. 36 = 35 + 1 = 34 + 2 = 33 + 3 = ···= 18 + 18 ; en este caso hay 6 – 1 = 5 catetos, en cinco triángulos rectángulos diferentes, que se cuantifican con los números : cinco, cuatro, tres, dos y uno, del total de los diez y ocho triángulos.

   2ª b ) Que siendo entero“A”, también lo sea √A y haya una terna de enteros p.e. 25 = 16 + 9 = 24 + 1 = 23 + 2 = ··· = 13 + 12; es un caso muy singular, tenemos cuatro catetos cuantificados con enteros, pero dos están en el mismo triángulo por lo que en este caso, de los 12, sólo hay tres, y no cuatro triángulos. uno con los dos catetos cuantificados con enteros y dos con uno de los catetos cuantificado con un entero y ninguno en los demás.

   3ª) Que siendo entero A lo sea ⁿ√A = a; ²√B = a^m·b y ²√C = a^m·c.

A = a^2m a² = aⁿ = a^2m·b² + a^2m·c² = B + C = D + G = d_mⁿ + g_mⁿ

En la que sólo es posible la terna de enteros :

( √A = a^m+1, √B = a^m·b, √C = a^m·c )

  ·Es evidente que cualquier número “a^m+1” puede expresar siempre las unidades de longitud de una hipotenusa “h º a^m+1 unidades” y la única ecuación posible con “a” entero y “a”, “b” y “c” enteros los tres es :

a^2m+2 = aⁿ = a^n-2·b² +a^n-2·c² = d_mⁿ + g_mⁿ ; ( 2m + 2 = n )

Si “a”, “b”, “c” y “d_m” son enteros, √G = g = √g_mⁿ no lo es y por tanto, aún siéndolo d_m = ⁿ√D, g_m = ⁿ√G no lo es nunca; tenemos :

aⁿ/aⁿ = a^n-2·b²/aⁿ + a^n-2·c²/aⁿ = p² + q² = d_mⁿ/aⁿ + g_mⁿ/aⁿ = p_mⁿ + q_mⁿ =1

1 º p² + q² = p_mⁿ + q _mⁿ = p₁² + q₁²

es evidente que si : d y d_m son enteros, g y g_m no lo son nunca  y siempre : ⁿ√(a^n-2·b²) y ⁿ√(a^n-2·c²) , si n > 2, carecen de escritura decimal; ¿Demostración maravillosa de Fermat?.

   En resumen la C. de Fermat se reduce a descubrir que las ecuaciones :

aⁿ·(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ  y  aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ

son la MISMA ecuación aritmética y que :

cosⁿ.a + cosⁿ.β = 1

   SÓLO ES POSIBLE  con α + β = 90º y n = 2, evidencia para lo que sólo es necesario haber APRENDIDO las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos, que se explicaban en los primeros cursos del Bachillerato que yo estudié, pero que los gurús no aprendieron, pues siempre que “a”, “b” y “c” son unidades de longitud, (números), es evidente que si a ³ b + c, no hay triángulo y aⁿ > bⁿ + cⁿ, pero si a > b ³ c y a < b + c, “a”, “b” y “c” son las unidades de longitud de los lados de un triángulo y siempre :

a² º b² + c² ± 2·b·c·cos.j  y  aⁿ º bⁿ + cⁿ ± (polinomio ¹ 0, si j ¹ 90º)

más adelante se demuestra que el polinomio es cero sólo cuando j = 90º y por tanto sólo es posible con enteros si n = 2.

   De lo anterior se deduce que cualquiera que sea el número “a”, si :

A = aⁿ = (B = bⁿ + C = cⁿ)  y    A, B, y C números enteros

siempre, sin una sola excepción, los números  a^n/2, b^n/2, y c^n/2 son unidades de longitud de los lados de triángulos rectángulos y viceversa una potencia aⁿ sólo se puede descomponer en suma de dos potencias si bⁿ y cⁿ son el cuadrado de las unidades de longitud de los catetos de un triángulo rectángulo, por tanto es imposible descomponer un número A = aⁿ, en base diez, (o en otra inventada por el hombre), en dos potencias de números en la misma base, (C. de Fermat); sin embargo, la ecuación de David Hilbert : aⁿ = bⁿ + cⁿ existe, pero al menos una de las tres variables está fuera de la base; es evidente que existe el número : c₃ = (3³.- 2³)^1/3 = ³√19.

   En la figura siguiente se representa un triángulo rectángulo, para lo que es preciso utilizar materia del universo, en este caso un volumen de tinta, por lo que realmente vemos tres volúmenes que representan tres longitudes, ya que éstas son invisibles, formando una figura espaciométrica.

                                      ·                      c₁ ^ c₂

      c₁ = d^n/2 ( unidades)                        h  = a^n/2 ( unidades)

                                                                  A = aⁿ = dⁿ + gⁿ = D + G = B + C

 

 

 

 

 

 

                                           90º

                                        ·                              ·                              

                                                  c₂ = g^n/2 (unidades de longitud)

 

   Dos expresiones aritméticas que expresan el TEXTO de Fermat son :

aⁿ ¹ bⁿ + cⁿ  y   aⁿ·(pⁿ + qⁿ ) = bⁿ + cⁿ, pero nunca  aⁿ = bⁿ + cⁿ

por otra parte es evidente que en la ecuación :

a·a·a·a·= b·b·b·b·+ c·c·c·c = a⁴ = b⁴ + c⁴,· sólo hay tres números, el “4” es un superíndice, no es un número, (como no lo es en a₄) utilizado para abreviar y no repetir los números “a”, “b” y “c”.

   ¿Desde que murió Fermat nadie ha estudiado el T. de Pitágoras?

   Las ecuaciones que relacionan las unidades de longitud : a > b > c de todos los triángulos y sus ángulos (T del coseno y T del seno) son :

A = a² = b² + c² ± 2·b·c·cos.φ  = B + C ± D (T del coseno)

a·(sen.a + sen.β ) = (b + c)·sen.(a + β) (T. del seno)

   Es evidente que :

a^2m = aⁿ = b^2m + polinomio + c^2m = bⁿ  ± 2·b^m·c^m·cos.φ + cⁿ

   también es evidente que para que :

aⁿ = bⁿ + cⁿ

es condición imprescindible que el polinomio sea cero, (φ =90º);  polinomio = cero y por tanto  :  a^m, b^m y c^m serían tres números que cuantificarían los lados de un triángulo rectángulo, pues si cuantificasen los de uno no rectángulo el teorema de Pitágoras no sería un teorema, sería un sofisma matemático (una mentira), pero, lo sepan o no los gurús, es un teorema (una verdad).

T. del seno :          a·sen.α = b sen.φ ; a·sen.β = c sen.φ

aⁿ·senⁿ.α = bⁿ senⁿ.φ ; aⁿ·senⁿ.β = cⁿ·senⁿ.φ ;   como   sen.φ = sen.(α + β)

aⁿ·(senⁿ.α + senⁿ.β) = (bⁿ + cⁿ)·senⁿ.(α + β)

La única posibilidad de A = aⁿ = bⁿ + cⁿ = B + C es que :

senⁿ.α + senⁿ.β = senⁿ.( α + β )

pero esta ecuación, lo sepan o no los gurús, sólo es posible si : α + β = 90º, también se trata de un triángulo rectángulo y por tanto n = 2; ¿ Tampoco ha habido un solo profesor que haya aprendido estos dos teoremas ?.

   Como prueba de que nadie ha aprendido estos tres teoremas transcribo a continuación el ejemplo de la ¿“ecuación”? propuesta por el jefe del departamento de matemáticas, propuesta a su vez, por uno de los profesores del departamento, de una Escuela Técnica Superior de Ingenieros:

13ⁿ = 12ⁿ + 6ⁿ

se me ocurrió hacerle la observación : “esa ecuación no existe en ninguna base de numeración” y después de aplicarme algunos epítetos que no reproduzco me ¡”demostró”! que esa ecuación existe, para demostrarlo escribió : “creamos la ecuación de variable continua 13^t = 12^t + 6^t ”, según él, “del teorema de Bolzano se deduce que hay un valor de “t” que la verifica, pues 13² < 12² + 6² y 13³ > 12³ + 6³, por tanto hay un valor 2 < t < 3 con el que se verifica”, la deducción es correcta, (como la de zenón), pero parte de una mentira, es un sofisma o falacia, pues un índice no es ni un tiempo ni una longitud, por tanto no puede ser una variable continua; es evidente que creyeron que : “y = e^x ” es una función continua, pero no lo es; por otra parte nadie puede “crear” una ecuación, a lo más que si podemos aspirar es a “encontrar” una ecuación que sirva para solucionar un problema, pero no a ser dioses creadores, (como Amón o Yavé).

   Es evidente que existen los números : A = 13ⁿ , B = 12ⁿ , y C = 6ⁿ, tantos como valores de “n”, (variable discontinua, pues el índice no es un concepto continuo), pero si “n” no es un ÍNDICE entero A, B, y C son tres números que ni son enteros, ni están en base diez, ni son múltiplos de enteros, por lo que √13^n=t, √12^t  y  √6^t no son las unidades de longitud de los lados de ningún triángulo rectángulo, también es evidente que trece, doce y seis son tres números que son las unidades de longitud de los lados de un triángulo no rectángulo, cuya relación es :

13² = 12² + 6² – 2·12·6·cos.φ

y como 13² = 12² + 5², es evidente que los únicos triángulos rectángulos posibles con lados cuantificados con enteros son los de la terna (13, 12, 5); es evidente que si t = n > 2 :

13^t = 12^t + 6^t ± (polinomio ≠ 0)

   Es evidente, aunque no es un teorema, pero si un razonamiento deductivo, que este jefe de departamento de matemáticas y los otros profesores de ese departamento, investidos de poder para explicar matemáticas y para aprobar o suspender a sus alumnos, no APRENDIERON los teoremas de Pitágoras, ni del seno, ni  del coseno; lo malo no es que ellos no los han aprendido, lo peor es que tampoco los han aprendido los demás profesores que han explicado y explican  matemáticas en las muchas universidades que hay a lo largo y ancho del planeta, siendo, los tres, teoremas fundamentales de la espaciometría (geometría) plana y por tanto de las matemáticas.

   Siempre que   α + β = 90º y sólo si  α + β = 90º :

sen².α + cos².α = sen².α + sen².β = cos².β + cos².α = cos².β + sen².β = 1

invariante numérico, pero no angular, que sólo es posible, con dos ángulos, si α + β = 90º y que tampoco ha aprendido nadie, al menos en los últimos 250 años, pues de él se deduce que si sen.a = b/a y sen.b = c/a  :

senⁿ.α + senⁿ.β = 1, o la cosⁿ.α + cosⁿ.β = 1

sólo existe si α + β = 90º y n = 2; (C. de Fermat) ¿Tampoco ha habido un profesor que haya aprendido este teorema ?.

   Del invariante anterior se deduce otro corolario ; “los ángulos cuyo seno y coseno son cocientes de enteros definen ternas de enteros pitagóricos” en los demás al menos el seno, el coseno, o los dos, no están en base diez.

    Me resulta decepcionante tener que admitir que desde que murió Pierre Fermat nadie haya aprendido el T. de Pitágoras, ni los que relacionan los lados y ángulos de cualquier triángulo, ni el invariante anterior y tener que aceptar que tanto Platón como Doxiadis pueden estar en lo cierto y por tanto Fermat ha sido el último matemático conocido.

   Para el estudio y comprensión de las Matemáticas hay que tener muy claros algunos Axiomas o verdades evidentes que no precisan ser demostradas, recordemos algunos :

   1) No hay dos números iguales.

   2) Cualquiera que sea la base de numeración, con los símbolos de esa base sólo se pueden escribir los números enteros y los fraccionarios exactos; en base diez, los enteros y los decimales exactos; éstos son menos que los ¿ irracionales ? que hay entre dos enteros consecutivos.

   3) todos los números son potencias de otros números y raíces de otros números, excepto el número “UNO”, que es potencia y raíz de si mismo.

   4) Es imposible una ecuación ARITMÉTICA con sólo dos números, EXCEPTO cuando un número se multiplica por si mismo.

   Para establecer una ecuación en la que elegimos dos números se precisa de un tercero, si elegimos tres, de dos más, y así sucesivamente, si :

 a > b > c > d >···, siempre a·p = b, a·q = c, a·t = d, ···· ·· y  a·(p + q + +·t +··) = b + c + d + ···, y   aⁿ·(pⁿ + qⁿ +·tⁿ +  ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ·+   · , ecuación de MARCELO que relaciona las potencias n-simas de todos los números, para que : a = b + c + d + ·y  aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ + ·es preciso que· p + q + t +··· = 1, en la 1ª y  pⁿ + qⁿ + rⁿ + ····= 1, en la 2ª.

   Con un razonamiento lógico se llega a la conclusión, de que P. Fermat si que Aprendió los teoremas anteriores y conocía como poner en evidencia el texto que escribió en el margen de un libro de Diofante, ¡ No es casualidad que lo anotara en ese libro !, él tenía la “demostración maravillosa”, la encontró tan sencilla que planteó un reto a los ¿matemáticos?, éstos, si los hubo, no la han encontrado en casi trescientos años, sin embargo nos dio una pista muy clara escribiendo el enunciado, precisamente, en ese libro.

   No hay dos números iguales y por tanto no se puede establecer una ecuación con menos de tres números, dos elegidos al azar y el 3º impuesto por la ecuación, si elegimos tres, necesitamos otros dos, por ejemplo si tomamos los números a = ³Ö997,  b = 5,  c = ⁷Ö3,  siempre :  5 =  p·³Ö997  y ⁷Ö3 = q·³Ö997, dos ecuaciones y tres números en cada una, y si  sumamos  5 + ⁷Ö3 = (p + q)·³Ö997, (a·(p + q) = b + c) una ecuación y cinco números, por tanto la ecuación que relaciona las potencias aⁿ, bⁿ y cⁿ no es la mal llamada ecuación de Fermat : aⁿ = bⁿ + cⁿ, ya que siempre : a·p = b y a·q = c y la traducción matemática más correcta del texto de Fermat es :

aⁿ·(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ ,    (pⁿ + qⁿ ≠ 1)    si n > 2

   Si analizamos estas ecuaciones, que si caben en el margen de un libro :

aⁿ =a^n-2·b² + a^n-2·c²   y    aⁿ = dⁿ + gⁿ

a·p = b , a·q = c , a·p₁ = d    y    a·q₁ = g

es fácil comprobar que :

aⁿ/aⁿ = 1 = a^n-2·b²/aⁿ +a^n-2·c²/aⁿ= b²/a²  + c²/a² = p² + q² = 1

y que        aⁿ/aⁿ = 1 = dⁿ/aⁿ + gⁿ/aⁿ = p₁ⁿ + q₁ⁿ

es imposible que si : p² + q² = p₁² + q₁² = 1 = p₁ⁿ + q₁ⁿ,  si   n ≠ 2

es evidente que siempre que n > 2,  p₁ⁿ + q₁ⁿ < 1 y cuanto más grande sea “n”   p₁ⁿ + q₁ⁿ  más se aproxima a cero, pero nunca puede llegar a cero.

   Es evidente que si elegimos tres números enteros al azar los tres son diferentes y siempre, si a > b > c, se verifican las igualdades :

a·p = a·cos.α = b, (3 números);  a·q = a·cos.β = c (3 números)  y

    a·(p + q) = b + c    y     aⁿ·(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ (5 números y e. de Fermat)

El número del exponente no tiene nada que ver con los otros cinco, pues es un índice que no depende de ellos, ni estos dependen de “n”, simplemente indica que el número de la base se multiplica por si mismo (n-1) veces, p.e 5·5·5 = 125, no son tres multiplicaciones, aunque lo expresemos :  5³ = 125.

   En resumen, las únicas posibilidades de : a = b + c,  y  aⁿ = bⁿ + cⁿ es que p + q = 1, (en la 1ª) y que pⁿ + qⁿ = 1, (en la 2ª).

   Conclusión

   El conocido como T. de Fermat se deduce de los teoremas : de Pitàgoras, del seno, del coseno y de algunos más y si éstos son ciertos también lo es el de Fermat y los cuatro son casos singulares del T. de Marcelo, teorema que al parecer nadie conoce, por lo que se expone a continuación.

 

ESPACIOMETRÍA  Y  TEOREMA de MARCELO

   El T. de MARCELO demuestra que en la ecuación :

aⁿ ( pⁿ + qⁿ + rⁿ ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ

no es imposible : pⁿ+ qⁿ+ rⁿ = 1, con “n”, “a”, “b”, “c” y “d” enteros.

   Antes de comenzar con el análisis de los conceptos métricos, (volumen, superficie, longitud, ángulo y punto), vamos a considerar los conceptos : ESPACIO y UNIVERSO (MASA « ENERGÍA).

   Los dos son conceptos ETERNOS, pues no han tenido principio ni tendrán fin, aunque el universo (masa « energía) está en constante evolución; la teoría de la explosión de una partícula subatómica para explicar el origen del UNIVERSO no tiene más base científica que la divinidad de Isis o la de la Pacha Mama; es la negación del sentido común.

   El espacio es continuo, ilimitado e inmaterial, el universo es discontinuo, limitado y compuesto de masa, éste ocupa un infinitésimo de un infinitésimo, de un infinitésimo,  ·····, de espacio, pero no es espacio.   

   El ESPACIO es un concepto continuo en tres dimensiones ilimitadas (tres longitudes perpendiculares en un punto), y si no fuese por el universo y su energía luminosa, sería un ilimitado vacío; un ilimitado agujero negro; el espacio es tan inmenso que la luz emitida por el universo, a pesar de su velocidad, que al hombre le resulta grandísima, no llegará nunca al final del espacio, pues el espacio no tiene final.

   En el espacio están los conceptos continuos y sin masa, pero no necesariamente ilimitados :

  1º) Volumen, que ocupa espacio, tiene muchas formas, (los espíritus no tienen forma), tiene tres dimensiones y siempre hay otro igual que se puede expresar como producto geométrico de tres longitudes (l₁·sen.w·l₂·sen.d·l₃)_·

   2º) Superficie, que no ocupa espacio, por tanto no puede tener tres dimensiones, y siempre hay otra igual (en un plano) que se puede expresar como producto geométrico de dos longitudes (l₁·sen.w·l₂) , por tanto tiene dos dimensiones y muchas formas;.un plano es una superficie, por tanto la ecuación que define el plano cartesiano en que se encuentran OX y OY no es z = 0, sino :   S = 4·OX·sen.90º·OY.

   3º) Longitud, que no ocupa espacio, se puede expresar : L = f(l,w,v.j), f(l,w,v) o  f(l,w), tiene una dimensión y muchas formas.

   Son conceptos en el espacio, también sin masa :

   4º) El ángulo, que va siempre unido a los conceptos dirección, superficie o volumen, y viceversa, es continuo, pero siempre limitado, la expresión XOY no define un plano cartesiano, define un ángulo de 90º.

   5º) El punto, intersección de tres superficies o de dos líneas, que carece de dimensiones, por lo que no puede tener forma, es discontinuo e indivisible. Que el punto carece de dimensiones es un axioma, ya que o no tiene ninguna o tiene tres; si el punto tuviera tres dimensiones también las tendrían la longitud y la superficie y por tanto superficie, longitud y punto serían volúmenes y como conceptos diferentes del de volumen “absurdos”.   

   Los primeros cuatro conceptos son interdependientes y válidos  para estudiar funciones espaciales de variable(s) continua(s).

   ¿ Cuales son las variables continuas con las que podemos estudiar todos los números ?

   Éstas variables continuas son : las longitudes, superficies y volúmenes.

   ¿Cuales son las funciones de variable(s) continua(s)?

   Son también las longitudes, superficies y volúmenes y además las angulares, pero no siempre una función de variable continua es continua; lo que hace que una variable, o una función, sea continua es que elegida una longitud p-e “l” podamos sumar, o restar, en la misma línea, a la longitud “l” la longitud “dl”;   l + dl = l₁; “l” y l₁ están en la misma línea y hacer lo mismo con   s + ds = s₁ ;   v + dv = v₁  y   α + dα = α₁.

   Las funciones de variable(s) continua(s) :  L = f(l,w,v,j),  s = f(l₁,l₂ ,w)  y v = f(l₁,l₂,l₃,w,v)  sólo son continuas si dl, ds, y dv están en la misma línea, superficie y volumen, respectivamente; si la variable independiente y la función son perpendiculares, las funciones pueden ser :

z = f(x).    y = f₁(x),   s = f(x,y) = f[x,f₁(x)]   y   v = f(x,y,z) = f[x,f₁(x),f(x)]

pudiendo prescindir del ángulo, ya que sen. 90º = 1:

   Es evidente que si : y = xⁿ = l_y1, la longitud l_y1 se encuentra en una recta paralela al eje OY pero no en el eje OY, (gráfica en las páginas finales), aunque es evidente que en el eje OY hay una longitud igual y₁ = l_y1,  por tanto si   y + dy = (x + dx)ⁿ = l_y2, es evidente que l_y2 no está en el eje OY, ni en la recta paralela en que está l_y1, por tanto “dy” no se suma a l_y1, por lo que xⁿ es una función de variable continua pero no es una función continua; se admite que y = xⁿ define una curva distinta para cada valor de “n”, lo cual no es cierto, pues xⁿ = l_y1 es una de las coordenadas de un punto, en un plano cartesiano, cuya otra coordenada es  l_x1 = x; l_x1 está en una paralela al eje OX, lo que si es verdad es que todos los puntos de coordenadas :         P( l_x = x, y = l_y = xⁿ  ) están en la misma línea, una distinta para cada valor de “n”, pero ningún profesor conoce las ecuaciones que nos dan la longitud de la curva : L = f(x,f₁(x),w) = f(x, xⁿ,w).

   Por otra parte si : s = ∫ds = ∫y·dx  = ∫l_y·dx = ∫xⁿ·dx, en este caso “x” y “dx” están en el eje OX y “s” y “ds” están en la misma superficie, por tanto “s” es una función de variable continua y continua .

   Para el estudio métrico de estos conceptos necesitamos un sistema de medidas, basado en las unidades de longitud, de superficie, de volumen y de ángulo, para lo cual es preciso de la ayuda de los conceptos “número” y “grado”, normalmente el número en base (10) pero el grado en base (60).

   Pero ¿ Qué es el número?, el concepto número es fácil de definir (aunque nadie lo ha hecho hasta ahora) pues es el único concepto en que uno cualquiera de sus elementos, “un número”, se puede multiplicar por si mismo o por otro número siendo el resultado también un número; el número y la palabra son elementos del lenguaje, anteriores a la gramática y a las matemáticas; los símbolos para la expresión y estudio de la palabra son las letras del alfabeto, con ellas podemos escribir cualquier palabra y con éstas las distintas frases; los elementos de que disponemos para escribir algunos números son símbolos, distintos de las letras, que forman la base de numeración, en la base diez son nueve más el del cero, éste no es un número, pero su símbolo colocado detrás del de cualquier número entero multiplica a éste por diez, (infinito no es un número, por tanto “¥” no es el símbolo de un número), combinando los nueve símbolos más el del cero y el de la coma no podemos identificar todos los números que necesitemos, lo que impone restricciones importantes, pues tenemos que aceptar resultados aproximados, si precisamos expresarlos con los símbolos de la base; sin embargo los conceptos : longitud, superficie y volumen, se cuantifican con números, por esto es importante la espaciometría analítica, ya que una identidad espaciométrica lo es también aritmética.

   El número es un concepto descubierto por el hombre, no es un invento del hombre, ¡AFORTUNADAMENTE!, lo que si son inventos aceptables son la base diez y sus símbolos, con los que identificamos algunos números y que evidentemente son muy posteriores a la utilización de los números, por lo que me resulta incomprensible que haya profesores que confundan los números con los símbolos con los que los representamos; no hay que confundir al número con su símbolo, el número es inmaterial, carece de forma, y su símbolo es tiza, carbón, tinta, grabaciones en distintos materiales, etc., es decir materia del universo y por tanto volumen con forma; el invento de los negativos y los imaginarios, que no son números, es una barbaridad inaceptable ¿ Como se puede admitir que colocando el símbolo de la resta delante del símbolo de un número, (es imposible colocarlo delante del número), éste se convierte en negativo ?.

   Podemos admitir que un número es la respuesta concreta y exacta a la pregunta: ¿cuanto o cuantos?. Por ejemplo ¿cuántos metros miden las aristas de un cubo de tres metros cúbicos de volumen?. La respuesta concreta y exacta es “raíz cúbica de tres”; este número no tiene escritura decimal, ya que no se puede escribir combinando algunos, (o todos), de los diez símbolos de la base diez, sin embargo sirve para cuantificar una longitud, lo que nos permite utilizar estos conceptos para estudiar todos los números; longitud y superficie son conceptos tan espaciales y naturales como el volumen. ¿ Porqué “3” es un número natural  y “³√3” no ?; que la numeración decimal sea discontinua es algo que hay que tener presente, cuando la inmensa mayoría de los números carecen de escritura decimal.

   El número es un concepto sin dimensiones, discontinuo y, a partir de cero, ilimitado (hay tantos enteros como puntos en el espacio); un número, que se puede sumar o restar, no es ni positivo ni negativo por el hecho de tener delante de su símbolo los símbolos de la suma o de la resta.

   Existen tres grupos de números :

A)              Los que se pueden escribir con los símbolos de la base y la ayuda de la “coma” : los enteros y fraccionarios exactos, p.e. en base diez, los enteros y decimales exactos : 3.124, el 3,124, el 0,25 o el 7/4 º 1,75.

B)       Los que no se pueden escribir con los símbolos de la base, pero se pueden sumar siendo su suma un cociente de números decimales o un entero p.e. p = 3/7,·····, q = 5/11 , (su suma es : p + q = 68/77);  3/7 + 5/11 + 9/77 = 77/77 = 1.

C)       Los que no se pueden ni escribir ni sumar  p.e. p = ³√3 o q = ³√10; es imposible escribirlos y sumarlos en base diez : ( p + q ) = ³√3 + ³√10 = ?, sin embargo ese número existe, pero no en base diez.

   Todos los números del grupo A y sus raíces cuadradas, absolutamente todos, pueden cuantificar una longitud que puede ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo, (este es uno de los corolarios del T. de Pitágoras), y los cocientes, menores que UNO, de dos de estos números, son siempre el coseno de un ángulo y el seno del complementario, de donde se deduce que todos los números enteros y las raíces cuadradas de enteros se pueden expresar en función del coseno de un ángulo, p.ej.  √3 = 7·cos.β.

  Este grupo de números es tan importante que nos permite resolver todos los problemas que tienen planteamiento espacial y no han sido resueltos, vamos a exponer la solución del de Catalán : a² = b³ + 1, del que se conoce la solución :  3² = 2³ + 1, es evidente, aunque sólo para los que han aprendido el T. de Pitágoras, que existen infinitos triángulos rectángulos de lados h = 3 mtrs, c₁ = √8 m. y c₂ = 1 m. por tanto si 3² = (√8)² + 1² = 2³ + 1, no puede haber más soluciones de la ecuación : a² = b³ + 1; si lo estudiamos de esta forma : 3·cos.α = 2·√2 y 3·cos.b = 1,  cos².α + cos².β = (√8/9)² + (1/3)² = 8/9 + 1/9 = 1, por tanto α + β = 90º, a = 3 y b = 2 es la única solución, todos los triángulos rectángulos con un cateto de longitud la unidad tienen al menos un lado cuya longitud aⁿ – b^m ≠ 1.     

   El cero es un concepto que expresa el origen de los números, de las longitudes, de las superficies, de los volúmenes y de los ángulos, pero no cuantifica ningún concepto.

    Para cuantificar el concepto “ESPACIO”, solamente podemos utilizar el número “uno”, pues sólo hay un ESPACIO, aunque sus dimensiones son ilimitadas y por tanto no podemos cuantificarlas.

   Para cuantificar los conceptos, no ilimitados de : “volumen”, “superficie” y “longitud”, sirven todos los números; (excluidos los negativos y los imaginarios, por la sencilla RAZÓN de que no son números).

   Para cuantificar el concepto ángulo en un plano, (por tanto asociado al concepto superficie), solamente se pueden utilizar los números desde el 0 al 360, (con el sistema actual de medida en grados sexagesimales).

   Para cuantificar el concepto punto, solamente se pueden utilizar los números enteros.

   Es evidente que no se pueden sumar ESPACIOS, ya que solamente hay uno; sin embargo al ESPACIO si se le puede dividir.

  Se pueden sumar longitudes no ilimitadas y también multiplicarlas por un número, (la multiplicación geométrica ya se expuso), también se puede dividir una longitud por un número, (el resultado es una longitud), y por una longitud, pero no se puede restar una longitud de otra que sea menor; es evidente que no existen longitudes negativas, (este es un adjetivo absurdo); desconozco de donde procede el concepto de longitud negativa pero supongo que de las notaciones de los semiejes cartesianos, a Descartes ya se le podía haber ocurrido utilizar : Ax, Bx, Cy, Dy, Fz y Gz en vez de X, -X, Y, -Y, Z y –Z, pues de esta forma la identificación de las coordenadas sería más practica y, probablemente, ningún gurú hubiera inventado el concepto absurdo de longitud negativa; nadie usa el concepto de radio negativo de una esfera, lo cual complicaría enormemente el cálculo, pues el radio de una esfera con centro en el origen sería unas veces negativo, otras positivo, y otras ni positivo ni negativo, ¿como sería el radio en la bisectriz del segundo octante, con dos proyecciones positivas sobre los semiejes OY (Dy) y OZ (Fz) y una negativa sobre el -OX (Bx), no -Ax?; el resultado de la división de una longitud por otra puede ser :

  1º) Si se divide una longitud por otra longitud, en la misma línea, el resultado es un número, (la que divide se convierte en la unidad).

   2º) Si las longitudes son rectas, parten del mismo punto y son perpendiculares el cociente es una función angular conocida como tangente (tg.) o cotangente (cotg.).

   3º) Si parten del mismo punto, son rectas, no son perpendiculares, la que divide es mayor que la otra y ésta es la proyección de la mayor sobre una recta el cociente es otra función angular, conocida como coseno (cos.a).

   En el caso del ángulo se pueden hacer las operaciones aritméticas de sumar y restar, multiplicar y dividir por un número y dividir un ángulo por otro, pero con el límite que impone el ángulo máximo, tanto en un plano como en tres dimensiones.

   En el caso del “punto”, éste se puede sumar; se puede restar de un número de puntos otro menor, se puede dividir un número de puntos por otro menor si el cociente es un número entero, ya que el punto al no tener dimensiones es indivisible, (concepto verdadero de la palabra átomo).

   AL ESPACIO NO SE LE PUEDE MULTIPLICAR (por n > 1) Y AL PUNTO NO SE LE PUEDE DIVIDIR (serían operaciones absurdas).

   Es absurda la operación, no geométrica, de multiplicar dos elementos del mismo concepto, si bien podemos convenir que una multiplicación absurda es cero (el cero cuantifica la nada, lo que no existe); el cero como número que cuantifica una temperatura es un valor relativo pues el verdadero cero es el “cero absoluto”, que expresa la no existencia de temperatura y el ángulo de cero grados también es un valor relativo, pues si el ángulo total de una circunferencia es de 360º y si el semieje “Ax→OX”, p.e, es el origen de los ángulos (desde cero), es evidente que “Ax→OX” no es un ángulo, pero se puede admitir, a efectos prácticos, que cos.360º = cos.0º = 1, aunque realmente un ángulo de 0º no existe, pues el semieje es una longitud y no un ángulo.

   Las operaciones aritméticas que se pueden efectuar con las unidades de cualquier concepto no espacial son siempre limitadas y a veces podrían ser absurdas; p.e no podemos dividir un elefante en tres partes, ni iguales, ni desiguales, ya que lo divisible sería un cadáver de elefante; también sería absurda la multiplicación de un concepto por si mismo. 

   Son operaciones absurdas y por tanto sólo podemos admitir :

( ESPACIO )² = 0  ;  ( puntos )² = 0 ;

 ( volúmenes )² = 0  ;  ( superficies )² = 0

( longitudes )² = 0 ; ( ángulos )² = 0 ;

( elefantes )² = 0  ;  (más)² = 0 ; (menos)² = 0

   Los conceptos dimensión y dirección, igual que longitud, superficie, volumen y los números de los grupo A y sus raíces cuadradas, se pueden relacionar siempre con el concepto “ángulo”.

   En nuestro sistema métrico la unidad de longitud es el metro lineal; un metro cuadrado es la unidad de superficie; un círculo cuyo radio es 1/√π metros tiene una superficie de un metro cuadrado, ( ¡ Si “pi” es un número, es evidente que existe un circulo de un metro cuadrado ! ¿ Cuadratura del círculo ? ), y un romboide de 1 y 2 metros de lado, que forman un ángulo de 30º, también tiene una superficie de un metro cuadrado (no un metro al cuadrado), y un metro cúbico (no un metro al cubo) es la unidad de volumen; en las definiciones anteriores se expresa con exactitud la diferencia entre : (metro)² = 0 y 1m·2m·sen.30º = un metro cuadrado o 1m·1m·sen.90º = un metro cuadrado; la expresión 1m·1m = 1m² debe ser eliminada, ya que no es correcta, pues en el mejor de los casos es una superficie indefinida, ya que 1m·1m·sen.w = Nº de unidades de superficie que varía entre 0 metros cuadrados y 1 metro cuadrado y sólo si w = 90º, es un metro cuadrado.

Lo mismo podemos razonar para la unidad de volumen :

 1m·sen.90º·1m·sen.90º ·1m = un metro cúbico

   Es evidente que si “pi” es un número, existe una esfera de radio (3/4π)^1/3 metros, cuyo volumen es un metro cúbico.

   ¿Que es “pi”, un número o un ángulo?, yo lo tengo claro ¡un número!.

   Parece más que evidente que si sumamos puntos , la suma resultante es un número que expresa puntos; nunca obtendremos una longitud, ni una superficie, ni un volumen, ni un ángulo, ni una cesta de naranjas; los puntos están en una línea, en una superficie o en un volumen, como las naranjas en una cesta, pero las naranjas no son cesta, ni los puntos son línea, ni superficie, ni volumen, pues son conceptos diferentes.

   Lo mismo ocurre si sumamos longitudes, obtenemos longitudes , pero no puntos, ni superficies, ni volúmenes, ni ángulos; si sumamos volúmenes sólo obtenemos volúmenes y si sumamos ángulos sólo obtenemos ángulos. 

   Parece más que lógico deducir que las longitudes, superficies y volúmenes no son conjuntos de puntos, como se explica en las aulas; se suele definir a la esfera como “conjunto de puntos que equidistan de uno interior llamado centro”, lo cual es una definición incorrecta, ya que la esfera es una superficie y no una suma de puntos; sin embargo es correcto decir : “ todos los puntos que equidistan de otro punto interior se encuentran en una superficie llamada esfera”.

   Si el ESPACIO es ilimitado es evidente que cualquier punto es centro del ESPACIO, pues a partir de cualquier punto y en todas las direcciones y sentidos en que tomemos una recta, esa recta es ilimitada.

   Si tomamos un punto cualquiera del ESPACIO como origen de un sistema de semiejes cartesianos, OX, OY, OZ, perpendiculares e ilimitados, y llamamos planos cartesianos a los que contienen a dos de esos semiejes, es evidente que los planos cartesianos dividen al espacio en ocho partes iguales; si llamamos coordenadas cartesianas a las distancias más cortas de un punto a los planos cartesianos, todos los puntos que hay fuera de los planos cartesianos tienen tres coordenadas y no hay ningún otro con las mismas coordenadas, aunque si hay otros con coordenadas iguales.   

   Hemos dado una definición gramatical de ESPACIO; en términos matemáticos podemos hacerlo, de dos formas, en función de los conceptos : longitud, ángulo, número y multiplicación geométrica, en la que siempre entran tres, o más, factores y el resultado es un concepto distinto del de los elementos que se multiplican, mediante las ecuaciones :

ESPACIO = 4·π·R³/3

ESPACIO = 8·X·sen.90º·Y·sen.90º·Z = 8·X·Y·Z

   En estas ecuaciones hay cuatro longitudes rectas e ilimitadas, “R”, “X”, “Y”, “Z”, dos ángulos de  90º, “pi” y los números 3, 4, 8.

   Cualesquiera que sean las coordenadas de un punto del espacio se verifican todas y cada una de las ecuaciones, en las que “l_x = x”, “l_y = y”, “l_z = z”, y “r”, son las coordenadas y la distancia del punto al origen de coordenadas, respectivamente, y “w”, “v” y “u” los ángulos que forma la recta OR, en que se encuentra ese punto, con los ejes :  

 x = r·cos.w ; y = r·cos.v ; z = r·cos.u

x·+ y·+ z·= r·(cos.w + cos.v + cos.u)

   La ecuación general de Marcelo, que se verifica siempre, con números, tengan o no escritura decimal, siendo : a·p = b, a·q = c, a·s = d, etc, es :  

a·(p + q + s + t + ··· ) = b + c + d + f + ·····

y con todas las potencias : aⁿ·(pⁿ + qⁿ + sⁿ + tⁿ + ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + f ⁿ + ···

   Si tomamos en tres rectas, tres longitudes iguales : “r₁ , r₂ y r₃ ” de “a” unidades, en base diez p.e, éstas están siempre relacionadas en una ecuación con longitudes menores de “b”, “c” y “d” unidades, y con los cosenos de tres ángulos; si identificamos a cada uno de los tres ángulos con las letras : a,  b y j , y siempre :

b = r₁·cos.α,  c = r₂·cos.β,  d = r₃·cos.φ

bⁿ = aⁿ·cosⁿ.α , cⁿ = aⁿ·cosⁿ.β , dⁿ = aⁿ·cosⁿ.φ

si sumamos tenemos una ecuación trigonométrica de MARCELO :

bⁿ + cⁿ + dⁿ = aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ )

   Todos los números b/a, c/a y d/a,  siendo “b”, “c”, “d” y “a” enteros, son siempre el coseno de algún ángulo.

   “TODOS LOS NÚMEROS ENTEROS PUEDEN FORMAR PARTE DE UN CUARTETO QUE VERIFICA LA ECUACIÓN DE MARCELO”, ecuación con 7, más el índice “n”, variables; podemos tomar enteros ( a, b, c, d ) , a > b , a > c, a > d;  siempre existe un número “w” del grupo “B” que la verifica :

0 < w = (cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ) < 3   (3)

 Es evidente qαue el único valor de “w”, posible para que w·aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ siendo entero  (bⁿ + cⁿ + dⁿ)^1/n = a·w^1/n ,  es w = 1.   

   En la ecuación (3) tenemos cuatro variables, más la “n”, (w, n ≠ 1, a, b, j), “w” es función de tres variables; si fijamos w = 1, es evidente que : 

   1º) Al ser enteros “a”, “b”, “c” y “d” es seguro que :  cos.α, cos.β y  cos.φ  son, los tres, números del grupo “B” y es posible la solución w = 1

   2º) Que “n” también es entero, (las bases se multiplican por si mismas, un número entero de veces), pues w = 1 es incompatible con todos los índices no enteros, ya que es imposible que la suma de “números no decimales” (raíces sin escritura decimal) sea un número entero, podemos conseguir aproximaciones, pero no un número entero.

   El número de cosenos que son cocientes de enteros y el de índices “n” enteros es ilimitado y su suma un número del grupo B y w = 1 es una solución, por tanto se puede afirmar que “no es imposible la ecuación” :

aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ

con “a”, “b”. “c” y “d” enteros, para algunos valores de n > 1 y entero.

   Hay otras demostraciones que no se exponen aquí.

   Lo más importante no es saber si hay o no soluciones, pues ya se conocen algunas, p.e : 6³ = 5³ + 4³ + 3³, (en esta ecuación es fácil comprobar que cos³.α + cos³.β + cos³.φ = (5/6)³ + (4/6)³ + (3/6)³ = 1 y es evidente que existen cuatro esferas de radios : r = 6 unidades de longitud, 5 (udl), 4 (udl) y 3 (udl) y V₆ = V₅ +  V₄ + V₃); cuando Pitágoras demostró su teorema también se conocían algunas de las ternas pitagóricas, lo que posiblemente no se conocía, al menos con la certeza actual, es que esas ternas son las unidades de longitud de los lados de triángulos rectángulos. Lo realmente importante es que este TEOREMA pone en evidencia, igual que el de Pitágoras, el fundamento métrico de los cuartetos conocidos de enteros, y los no conocidos todavía, de Marcelo, de las ternas de Pitágoras, (que en realidad, menos la (5, 4, 3)) son cuartetos de Marcelo con  n = 2, p.e la terna (13, 12, 5)  es el cuarteto abreviado (13,12,4,3) de Marcelo y resuelve las ¿conjeturas? de Fermat, de Birch y Swinnerton-Dyer, de David Hilbert, la S,T,W, que nada tiene que ver con la de Fermat, el problema de Catalán y en general todos los problemas que se pueden estudiar como funciones de variables espaciales continuas.  

   Se demuestra que la ecuación con más de cuatro potencias :

aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ + fⁿ + wⁿ + ·········

es imposible con enteros si todas las variables son mayores que UNO. C. de Fermat (ampliado a más de cuatro potencias).

   ¿Qué ocurre si en aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ , d = 0, por ejemplo?.

   En este caso se puede afirmar que, como siempre d = 0 nos impone φ = 90º la ecuación de Marcelo con (d = 0) :

aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β ) = bⁿ + cⁿ 

se verifica con todas las ternas de enteros , siempre que cumplan las condiciones : a > b ; a > c, y además resuelve la C.de Fermat, pues    siempre hay un número : 0 < w = cosⁿ.α + cosⁿ.β ≠ 1 y menor que “2”, con el que se verifica.

   ¿ Qué condiciones nos impone d = 0 en aⁿ·( cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ ?

   Teniendo en cuenta que el T. de Pitágoras fue demostrado hace más de 2.500 años, utilizando el invariante angular α + β = 90º, ( al parecer nadie se ha percatado de ello), y conociéndose también que sen².α + cos².α = 1 es un invariante numérico y que sólo si α + β = 90º, sen².α + sen².β = cos².β + cos².α = 1 es EL MISMO INVARIANTE, es evidente que, además de       φ = 90º, d = 0 nos impone :

   1º) si  α + β = 90º :

a² = b² + c²  y  b·cos.α + c·cos.β = a

1 = cosⁿ.α + cosⁿ.β = cos².α + cos².β ; (sólo es posible si n = 2)

   2º) si α + β ≠ 90º :

   En este caso siempre “a”, “b” y “c” son las unidades de longitud de los lados de un triángulo no rectángulo, y por tanto siempre se verifican las ecuaciones :

a² = b² + c² ± 2·b·c·cos.v   y   aⁿ = bⁿ + cⁿ ± (polinomio ¹ 0)

   Siendo “v” el formado por los de “b” y “c” unidades.

   Es evidente que la única posibilidad de la igualdad

aⁿ = bⁿ + cⁿ  es  que v = 90º

y por tanto estamos en el caso de : α + β = 90º

   En un plano se impone, no sólo que los cosenos sean cocientes de enteros, sino que además también lo sean los senos; estos senos y cosenos,  del mismo ángulo, son los que determinan las ternas pitagóricas de enteros, lo que hace imposible que puedan existir ternas de Fermat.

  Hay que destacar que :

 cos².α + cos².β = cos².α + sen².αa , solamente es cierto si α + β = 90º; y que cualquiera que sean los ángulos a  y  b,  si  α + β ≠ 90º es imposible :

cosⁿ.α + cosⁿ.β = 1 ;   si n ≠ 1

COMO SÓLO ES POSIBLE : cos².α + cos².β = 1, si   α + β = 90º, es imposible que existan ternas de enteros que verifiquen la ecuación :

aⁿ = bⁿ + cⁿ = rⁿ = xⁿ + yⁿ   (si n > 2) ; (Conjetura de FERMAT)

   Por otra parte si α + β = 90º, la ecuación de Marcelo en el plano queda con “4 más la n” variables (a, b,c,n,α) y no con “5 más la n”, como cabría esperar al fijar (d = 0 y φ = 90º),“2” de las “7 más la n” variables de la ecuación de Marcelo. La ecuación : 

cosⁿ.α + cosⁿ.β = sen².α + cos².α = 1,   impone :   n = 2

único valor de “n” (y no por casualidad “entero”) que hace w = 1.

   Una conclusión importante del T. de Marcelo es que no se puede descomponer ninguna potencia aⁿ , siendo “a” “un número con escritura decimal” y “n > 2”, ( incluso si “n” no es decimal ), en suma de dos potencias enésimas de enteros; es imposible : aⁿ = bⁿ + cⁿ, si n ≠ 1 y n ≠ 2; sin embargo si elegimos dos números “aⁿ” y “bⁿ”, siempre existe el número c = ⁿ√( aⁿ – bⁿ ), pero sin posibilidad de escritura en base diez o en cualquiera otra base de numeración, usada hasta ahora.

   Si en la ecuación :  r² = x² + y²  ; “r” es el número de unidades de la distancia de un punto al origen y “l_x = x” e “y = l_y” los de las coordenadas de ese punto en un plano cartesiano, es evidente que esta ecuación no define una circunferencia, ya que expresa una de las relaciones posibles entre las coordenadas de un punto y su distancia al origen, (tres longitudes expresadas en unidades de longitud, en cualquier sistema métrico). Lo que  expresa la ecuación, cuando “r” es una longitud constante tomada en todas las direcciones a partir del origen, es que “l_x = x” y “l_y = y” son las coordenadas de  puntos situados en la misma circunferencia.

   Las ecuaciones, con r = k :

r·sen.β = y ; r·cos.β = x  y  rⁿ·(cosⁿ.β + senⁿ.β ) = xⁿ + yⁿ

se verifican siempre con las mismas unidades de longitud del radio y de las coordenadas de puntos en la misma circunferencia, cualquiera que sea “n”,  pero no es la ecuación que define la longitud de una circunferencia. 

   La ecuación ;  L = 2·π·r ; si que define todas las circunferencias posibles, (líneas); a cada valor que demos a “r” corresponde una circunferencia, (una línea) distinta de las demás y además nos da su longitud.

   El T. de Pitágoras se suele enunciar en estos términos : “en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”; enunciado incorrecto.

   Sin embargo si decimos : “el área del cuadrado, uno de cuyos lados es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,  es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados cuyos lados son iguales a los catetos” el enunciado es correcto.

   La Geometría, Métrica, Espaciometría, o como se quiera llamar a esta ciencia, es una ciencia exacta, que no admite errores, (si los admitiera dejaría de ser exacta), (la Aritmética se ve forzada, a veces, a admitir errores); no es una ciencia experimental, por lo que hay que utilizar un lenguaje totalmente preciso (filosófico), para no cometer errores, que, aunque en apariencia no tengan importancia, pueden conducir a conclusiones falsas y éstas pasar desapercibidas durante siglos; tengo la impresión que los que cuestionan a EUCLIDES, nunca se han cuestionado algunas falacias, auténticos sofismas matemáticos, quizás menos evidentes que el de Zenón, pero con mucha más trascendencia.

  La C. de Fermat? podía haberse resuelto hace siglos, ya que si alguien hubiera aprendido bien el T. de Pitágoras, se hubiera percatado que siempre que : a² = b² + c² , “a”, “b” y “c”, son las unidades de longitud de los lados de un triángulo rectángulo y siempre :    

b = a·cos.α ; c = a·sen.α ; bⁿ = aⁿ·cosⁿ.α  ;  cⁿ = aⁿ·senⁿ.α ;

aⁿ·(cosⁿ.α + senⁿ.αa) = bⁿ + cⁿ ;    b ^ c  y 5 variables

  Esta última ecuación que es la de Marcelo con φ = 90º; es una expresión aritmética correcta de la C. de Fermat (y si n = 2 del T. de Pitágoras) y tiene 4 más la “n” variables y no sólo las 3 más la “n” con las que se ha expresado siempre el texto de Fermat, ( o las 3 del de Pitágoras ) :

1ª) a ; 2ª) b ; 3ª) c ; 4ª) n ; y 5ª y nunca tenida en cuenta ( cosⁿ.α + senⁿ.α ), que es un número, que depende de los otros 4, que siempre es mayor que cero  y menor que dos, por tanto no es un invariante, mientras que en la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ imponemos que siempre α + β = 90º, y que cualquiera que sea “n”, cosⁿ.α + cosⁿ.β = 1 y por tanto el mismo invariante numérico que : cos².α + cos².β = 1 .

a²·(cos².α + sen².α ) = b² + c² ;  ( 4 variables y no sólo 3)

cos².α + sen².α = 1 es un invariante numérico, pero “α” también es una variable continua, pero al ser α + β = 90º y φ = 90º, α + dα + b - dβ = 90º, dα = dβ, pero dφ = 0;  éstas igualdades son imposibles cuando   φ ≠ 90º y α + β + φ = 180º.

  Si en la ecuación con 6 variables, (a,b,c,n,α,β), α + β ≠ 90º , (a,b,c) enteros pueden ser las  unidades de longitud de los lados de un triángulo, si b + c > a, pero  el ángulo opuesto al lado de  “a”  unidades no es de 90º y es imposible dα = dβ = dφ  y si a^n/2, b^n/2, y c^n/2 son los lados de un triángulo rectángulo, “a”, “b”, y “c” no pueden ser enteros los tres, si n ≠ 2.

   La C. de FERMAT y el T.de PITÁGORAS son dos casos singulares del T. de MARCELO, que es, quizás, el más importante de la MÉTRICA ESPACIAL ( ESPACIOMETRÏA) y por tanto de las MATEMÁTICAS como ciencia exacta.

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   La utilización de los llamados “NÚMEROS NEGATIVOS” es una aberración, pues tales números no existen; pretender que : – 100/-5 = 20 es totalmente absurdo, tan absurdo como que : - 100 naranjas/-5 cestas = 20 naranjas en cada cesta, cuando no hay ni naranjas ni cestas, ¡sería un milagro!; es evidente que el “adverbio menos” en manos de un hombre, (matemático o no), no convierte, ni a éste, ni al adverbio, en un dios, que cambia la naturaleza de las naranjas, ni la de ningún otro concepto, incluido el de NÚMERO, por otra parte ningún dios haría tal milagro.

¿Qué decir de ( + · + = +); ( - · - = +); ( + · - = -)?. Como multiplicaciones son absurdas y como ecuaciones sólo tienen la solución  ( + = 1 ) y ( - = 1).

   Muchas veces me he preguntado : ¿Cómo es posible que se pueda confundir una REGLA NEMOTÉCNICA con un AXIOMA?.

   Espero que ningún estudiante de Física, o un profesor, que para recordar las distintas unidades usadas en electricidad recurra a la frase que usábamos los estudiantes para recordar las distintas unidades  “ Don Amperio y Don Faradio se fueron a dar un Voltio, se encontraron con Don Julio, ········” si se encuentra en la calle con una persona de nombre Julio, esté seguro que se ha encontrado con una unidad de trabajo o energía eléctrica.

   Desconozco quien fue la persona que se percató que los signos que deben preceder a los términos del producto de dos polinomios con términos precedidos de los signos : “+” y “-”, (adverbios de cantidad), son muy fáciles de colocar sin equivocarse, si se tiene en cuenta esta regla : “a los precedidos : del signo + si se multiplican por precedidos del signo “+” se les pone el signo “+”, del signo “+” si se multiplican por precedidos del “-” se les pone “-”, del signo “-” si se les multiplica por precedidos del “-” se les pone “+” ; no es ni parecido el significado del adverbio  “IGUAL”, que expresamos con el signo “ = ”, al de la oración gramatical “SE LES PONE El SIGNO”, ( o se les coloca el signo).

     En MÉTRICA no hay nada que inventar, sólo podemos aspirar a encontrar, mediante la LÓGICA FILOSÓFICA aplicada a la métrica, algún conocimiento nuevo que enriquezca el saber humano y sea útil para otras ciencias, además de eliminar por falaces, (entre otras), las indebidamente consideradas “otras geometrías”, que no son ni  GEOMETRÍA,  ni  MATEMÁTICAS.

   CONCLUSIONES FUNDAMENTALES

   1ª) “Las “inventadas” matemáticas modernas se fundamentan en pocos AXIOMAS y en muchos FALSOS AXIOMAS lo que las lleva a muchas conclusiones falaces; es preciso una revisión total de las matemáticas modernas, que puede que sean modernas, pero no son MATEMÁTICAS”.

   2ª) Hay que revisar la Teoría de Conjuntos.

   3º) Hay que revisar el conocido como Cálculo integral y diferencial.

   4º) Las “otras geometrías” no existen y su aceptación puede llevar a admitir como verdades auténticas imbecilidades, como es el caso de la llamada “geometría fractal” que afirma que un conjunto de líneas es una superficie, confundiendo dos conceptos espaciométricos.

   El T. de Marcelo es euclídeo y todos los números del grupo A pueden formar cuartetos que verifican la ecuación : 

aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ

pudiendo ser la suma de los tres números que multiplican al número “aⁿ”, números del grupo B y su suma los números “uno”  y “dos”.

   Todos los del A, del B y del C, verifican la ecuación general de Marcelo, aunque “p”,”q”, “s”, “t”, ··· no sean funciones angulares :

aⁿ·(pⁿ + qⁿ + sⁿ + tⁿ + ···· ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + eⁿ + ···

y si “b”, “c” y “d” son las unidades de longitud de las coordenadas de un punto, siempre existe un número “a²” que expresa el cuadrado de las unidades de longitud, ( no el cuadrado de la longitud ), de la distancia de ese punto al origen y se verifica : 

a² = b² + c² + d²

siendo “b”, “c” y “d” las unidades de longitud de las coordenadas de puntos en la superficie de una esfera de radio r = a y de ecuación : s = 4·π·r².

 

CÁLCULO INTEGRAL

   La integración, òdl, òds, òdv, òda = a es una suma, pero de conceptos espaciales, no de números, la diferencia entre una suma de números y una suma de longitudes se evidencia  p. e. si “n” es entero : ∑₀¹⁰(n) = 55 , pero si “n” es el valor de las raíces cuadradas de los 10 primeros números ∑₀^√10(√n) = ¿?, sin embargo   ∫₀¹⁰dx = 10 (u.d.), y    ∫₀ ^√10dx = √10 (u.d.l) .

   Las integraciones más simples son : ∫dL = L    y     ∫da = a, en las que los sumandos (diferenciales) lo son de variables independientes, longitud y ángulo, las dos son conceptos espaciales.

   Salvo alguna posible excepción, en los demás casos una integración es una suma de productos geométricos en la que los sumandos son infinitésimos de superficies o de volúmenes y los factores que se multiplican son, al menos tres : una longitud, un infinitésimo (diferencial) de otra longitud y una función angular,  p. ej. : ds = L·sen.w·dx, (tres factores); sólo si L = y = l_y , es sen.w = 1, y por tanto ds = l_y·dx, y si           l_y = xⁿ; s = ∫xⁿ·dx (dos factores), por ser  f(w) = 1.

   Vamos a recordar la forma en que se explica el concepto de integral.

   En las aulas se explica este concepto en base al concepto conocido como “derivada = tangente”, lo que, al menos, sorprende a aquellos que como a mi se les ha explicado y han comprendido, (ya que no se pueden sumar peras y naranjas), el concepto de suma con otra base matemática, lo que me permite deducir que o lo que yo entiendo por suma no es tal suna, o lo que se explica como integral no es una suma y por tanto integrar no es sumar. 

   Para explicar el concepto (inventado) “derivada”, (en MATEMÁTICAS no hay nada que inventar, pero si mucho que descubrir), y derivar es cambiar de rumbo, (o mejor, perder el rumbo) se hace el razonamiento :

y = f(x) = xⁿ

 y + dy = (x + dx)ⁿ = xⁿ + n·x^n-1·dx + ····· + nx·dx^n-1 + dxⁿ

para que esto sea posible “x” y “dx” tienen que ser números, pues el polinomio es cero si “x” y “dx” son longitudes, pues están las dos en el eje OX y los productos x·sen.180º·x = 0; x·sen.180º·dx = 0; dx·sen.180º·dx = 0.

   A continuación se hace el razonamiento : como y = xⁿ  es evidente que :

dy = dy₁ = nx^n-1·dx + (resto del polinomio = ε ≠ 0) por lo que se prescinde de ε y se admite que dy = tg.w·dx < dy₁, (ya se cambió el rumbo ya que hemos sustituido la función y = xⁿ por dy = tg.wdx): por otra parte         “dy₁ = dl_y” está en una paralela al eje OY, situada a la distancia “x + dx”, mientras “dy” está a la distancia “dx” del eje OY, ( ver gráficas 1 y 2 de páginas finales), lo que es EVIDENTE PARA CUALQUIER MATEMÁTICO y para cualquier persona inteligente; de ésta se deduce que dy/dx = tg.w = y’; a y’ se la denomina derivada de la longitud : y = xⁿ.

   Por otra parte como se admite, pero no es cierto, que y’ procede de y = xⁿ también se admite como verdad que la integración :  ∫dy = ∫y^,·dx = xⁿ.

   Para que el razonamiento anterior tuviera un mínimo de LÓGICA, tendríamos que partir de :

 y (unidades de longitud) = xⁿ (unidades de longitud),  y (u) = xⁿ (u)

y (u) + dy = xⁿ(u) + nx^n-1(u)·dx + ( + ···· + nx·dx^n-1 + dxⁿ  = 0)

en la que “y” y “x”, son unidades de longitud y por tanto números; haciendo el mismo razonamiento anterior llegamos a que :

dy = nx^n-1(u)·dx;  y de aquí a dy/dx = tg.w = f(w) = nx^n-1(un número)

ya que dy/dx es el cociente de dos longitudes perpendiculares y por tanto la tangente de un ángulo, (tg.w) que nada tiene que ver con una recta tangente a una curva, ya que esta recta es una línea ilimitada y tg.v es el cociente de dos segmentos en rectas perpendiculares, por tanto un concepto diferente.

   Es evidente que dy/dx es una función angular, (no una longitud), en :

dy = nx^n-1·dx = tg.v·dx

la función es dy = f(w)·dx;  ∫dy = tg.v∫dx = nx^n-1·x = nxⁿ = y_w ≠ xⁿ = y.

   Es evidente que y_v es una longitud distinta de la que, supuestamente, se partió, por tanto el cálculo integral no se puede deducir del concepto tangente; por otra parte se busca dar sentido a : ∫tg.w ·dx = xⁿ diciendo que xⁿ  no es una longitud, sino una superficie, lo cual es, cuando menos, más sorprendente aún, que lo anterior, pues si y = xⁿ es una longitud, no es una superficie; sumando longitudes no se consigue una superficie; no quiero ni imaginar cuando hubiera aprobado un alumno que en un examen, hubiera tenido que calcular la leche producida en un año por una vaca, sumando (integrando) la leche producida diariamente por la vaca y hubiera llegado a la respuesta de que su producción anual fue de 4000 Kg de cebada; en geometría se confunde la longitud con la superficie y se puede ser profesor, jefe de un departamento de matemáticas e incluso un genio, más bien un gurú, de las matemáticas modernas.

   Para que ds = L·sen.w·dx = L·dx, es evidente que tanto “L” como “dx” tienen que ser longitudes y sen.w = 1, por tanto “L·dx” es un producto geométrico, del que sólo se puede prescindir del ángulo si L^dx, y por tanto “L = l_y” es una longitud paralela al semieje OY ( l_y = y = xⁿ ), ya que sólo en este caso : s = f(x,dx,90º) y  ds = l_y·dx = xⁿ·dx .

   Podemos prescindir de sen.90º = 1, pero no debemos olvidar que la ecuación general del producto geométrico de 2 longitudes es una superficie

s = L₁·sen.w·L₂

   Es evidente que s = ∫ds = ∫l_y·sen.90º·dx = ∫f(x)·dx es una integral (suma) y si se integra (suma) correctamente el resultado obtenido es una superficie, pero si lo que queremos integrar es : ∫f(α)·dα, ∫f(x)·dα, o ∫f(x,α)·dx, aún siendo : s = xⁿ  y  s’ = n·x^n-1, y a s’ la llamamos “derivada”  de “s”, (superficie), no de “y”, (longitud), y siendo la operación opuesta de la derivación volver a la s = xⁿ , no podríamos extrapolar el método obtenido de :   s = xⁿ ↔ s’ = n·x^n-1 , a funciones integrables de la forma ∫f(α)·dα, ∫f(x)·dα y ∫f(x,α)·dx, pues conceptualmente es una barbaridad inadmisible, en la ciencia reina de las ciencias , veamos :

   Integremos la función :

dl = f(r)·da = r·da

l = ∫₀^360º r·da = 2πr ≠ 360r

   ¡Que fácil es esta integral cuando se conoce la ecuación de la circunferencia!,  ¿Es correcta la ecuación : dl = r·dα?, es evidente que no.

   Analicémoslo de esta otra forma :

   Partamos de la ecuación del volumen de la esfera :

V = 4·π·r³/3

   Si derivamos tenemos :

V^,  = S = 4·π·r²

  De donde se deduce que el ángulo, (en el espacio), de la esfera es : 4π. 

   Si derivamos de nuevo tenemos :

L = 8·π·r

   Si derivamos de nuevo tenemos .

L^, = 8·π

   Parece correcto que la derivada del volumen sea una superficie, la de la superficie sea una longitud, la de la longitud un número y la de un número es cero; ahora bien si             L^, = 8·α.

la derivada de una longitud podría ser una función angular, lo que no parece lógico.

   Si “π = 180º ” el ángulo total de la esfera es 720º y a cada octante de la esfera le corresponden 90º, lo mismo que al ángulo recto en el plano, :

 

   Por otra parte es evidente que la función : y = xⁿ es una función de variable continua, pues “dx” es una longitud en el eje OX, pero : l_y = xⁿ no es una función continua ya que cada ·”dy” se encuentra en una paralela, diferente, al eje OY pero no en la misma recta.

   Para que tenga sentido como producto geométrico la expresión : n·x^n-1·dx es necesario que nx^n-1 , sea una longitud y no un cociente de longitudes,   ds₂ = l_y1·sen. 90º·dx = n·x^n-1·dx; por otra parte también es una superficie :    s = ∫ds_v = ∫dy·sen. 90º·dx = ∫tg.w·dx·sen.90º·dx = ∫n·x^n-1·dx·dx.

   En las ecuaciones :

ds₂ = l_y1·dx = nx^n-1·dx;  ds = y·dx = xⁿ·dx,  y  ds_v = dy·dx = tg.v·dx·dx

“ds”, “ds_v” y “ds₂” son, las tres, continuas y funciones de variable continua, mientras que en : y = xⁿ,  y en dy = tg.w·dx, aunque “y” es una función de “x” y “dy” es una función de “x” y de “w”, y tanto “x” como “w” son, o pueden ser, variables continuas, ambas funciones son discontinuas. 

   Las tres funciones ds, ds_v y ds₂ son, evidentemente, continuas y diferentes, por tanto : s_v ≠ s, s_v ≠ s₂ y s ≠ s₂.

   Si algún lector considera que las tres superficies : s_v, s y s₂ no son diferentes y que una suma de longitudes es una superficie, le estaré muy agradecido si me saca de mi herejía.

   Por otra parte si s = y·x = xⁿ  y  s’ = n·x^n-1 = l_{y ,} s´ es una longitud paralela al eje OY, por tanto el concepto de “derivada = tg.” carece de sentido; puede tener el de (derivada = cociente), además, no conforme con esto, se ha llevado a funciones que nada tienen que ver con las funciones : y = f(x, 90º)  y  s = f(x,y,90º), como es el caso de las funciones angulares : seno, coseno, tang. y cotang. No es verdad que y = sen.α, y por tanto y^’ = cos.α, ya que siempre y = r·sen.α = f(r,α); en todo caso sería, con el método actual que me explicaron y no comprendí, (debo de ser muy torpe y además, para alguno, contestatario) : y´ = sen.α + r·cos.α ≠ cos.α, ¡Nunca una longitud es el seno de un ángulo!, aunque el número de unidades de “y” coincida con el de las unidades del seno de un ángulo (sen.α); es imperdonable que alguien, y más aún si es un matemático, confunda una longitud con un cociente de longitudes, (un número); la integral de cos.α no es sen.α; ES CERO, tampoco es verdad que si y = e^x , y´ = e^x, pues “x” es un índice y jamás es una variable continua, lo que si es verdad es : x·log.e = log.y, por tanto “y” no puede ser una longitud, es un número, por tanto y^, = 0;  por otra parte ni cos.α, ni e^x son una suma de conceptos espaciométricos, ni de productos geométricos infinitesimales, lo mismo ocurre con todas las integrales, que no son sumas de productos geométricos infinitesimales y en las que, aún siéndolo, ds = f(x,w)·dx, siendo f(w) ≠ 1, se prescinde de las variables angulares; es evidente que sólo son sofismas matemáticos.

   Partiendo de : ds = y·dx = xⁿ·dx, si s = ∫xⁿ·dx = xⁿ⁺¹/n+1 es la superficie de un trilátero cuyo perímetro está formado por una longitud “x”, en el semieje OX, por una longitud “l_y = xⁿ“, paralela al semieje OY, situada a la distancia “x” del eje OY y por una curva de longitud desconocida, en la que se encuentran los puntos de coordenadas P (l_x = x, l_y = xⁿ ) y si la derivada de “s” es s´ = xⁿ ; s´ = xⁿ es la longitud de uno de los lados del trilátero.

   Si en lugar de derivar integramos :  ∫s·dx = xⁿ⁺²/(n + 1)·(n + 2) y obtenemos un volumen “v”, de una figura geométrica, la pregunta es ¿ Cual es esa figura ?

   Si ahora integramos : ∫v·dx = xⁿ⁺³/(n+1)·(n+2).(n+3); podemos seguir integrando, (con n+4, n+5, ······ ) y así hasta que nos cansemos de integrar (sumar) infinitésimos de conceptos desconocidos ; la pregunta es ¿ Existen conceptos expresados por estas integrales y si existen esos conceptos cuales son sus formas ?, pues si x = 10 metros : L = xⁿ = 10ⁿ metros lineales en una recta bien identificada,   s = xⁿ⁺¹/(n+1) = 10ⁿ⁺¹/(n+1) metros cuadrados en una superficie (idem) y v = xⁿ⁺²/(n+1)(n+2) = 10ⁿ⁺²/(n+1)(n+2) metros cúbicos ¿de que figura?, el número 10ⁿ⁺³/(n+1)(n+2)(n+3) no cuantifica ni una longitud, ni una superficie, ni un volumen, aunque cualquier número “x^{n+ m}” puede cuantificar una longitud, una superficie y un volumen, pero ninguno de los tres conceptos si xⁿ , xⁿ⁺¹/(n+1) y xⁿ⁺²/(n+1)(n+2) cuantifican los conceptos anteriores, por lo que x^n+m/(n+1)(n+2)···(n+m), si m > 2 no cuantifica ningún otro concepto espacial. Con los conceptos de derivada y de integral, que se explican actualmente, se pueden plantear muchos ejemplos con los que quien los plantea se engaña y engaña a los estudiantes, pues si lo dice el maestro ¡dogma de fe !, tiene que ser verdad.

   Pongamos un ejemplo de la “deriva” que puede tomar este método : supongamos las funciones : z = x²;  y = x⁵.

ds₁ = y·dx; s₁ = ∫y·dx = ∫x⁵·dx = x⁶/6

dv₁ = s₁·dz = s₁·2x·dx ; v₁ = (2/6)·òx⁷·dx = (2/6)·x⁸/8

Si partimos de ds₂ = z·dx = x²·dx;   s₂ = òx²·dx = x³/3

dv₂ = (1/3)·x³·dy = (1/3)x³·5x⁴·dx    y   v₂ = (5/3)·òx⁷·dx = (5/3)·x⁸/8

Si partimos de : dv₃ = y·z·dx = x⁵·x²·dx = x⁷·dx

Obtenemos : v₃ = ∫x⁷ dx = x⁸/8

v₁ = x⁸/24; v₂ = 5x⁸/24  y  v₃ = x⁸/8

Es evidente que : x⁸/24 ≠ 5x⁸/24 ≠ x⁸/8

   Con este cálculo integral el orden de los factores si que altera el producto; de la mismas funciones y = x⁵, y z = x² obtenemos tres volúmenes distintos, de tres figuras diferentes; ¿ Están bien definidas las tres figuras a las que corresponden los volúmenes : v₁ = x⁸/24, v₂ = 5x⁸/24 y v₃ = x⁸/8 ?, pues las tres figuras deben existir y los tres volúmenes también. 

   Veamos que ocurre si ¿derivamos? v₁, v₂ y v₃

v₁´= x⁷/3 ¹ s₁            v₁´´ = 7x⁶/3 = L₁

 v₂´= 5x⁷/3 ¹ s₂             v₂´´ = 35x⁶/3 = L₂

    v₃´= s₃ = x⁷                   v₃´´ = s₃´ = 7x⁶ = L₃

   ¿Que longitudes son estas “deriva-das” segundas , a que figura pertenecen, que fundamento tiene esta derivación y para que sirve?; pues ninguna de las tres “deriva-das” segundas es la longitud de alguno de los lados del perímetro de las correspondientes superficies derivadas, supongo que cualquiera comprende que aquí algo se ha hecho : bien “sin lógica” o bien “sin partir de un axioma”; ¿ Se ha planteado un sofisma matemático ?.

    Los fundamentos del cálculo integral debieran ser conocidos, al menos, por los MATEMÁTICOS, si los hay, y por los profesores de matemáticas que puedan entenderlos, para que puedan explicar matemáticas en base al conocimiento y no en base a la fe; de momento supongo que ninguno los conoce, o bien no hay matemáticos, parodiando a Fermat “tengo la deducción”, a ver si alguien la encuentra antes de que trascurran unos cuantos siglos hasta que otro pastor aficionado a la lógica la redescubra.

   Las MATEMÁTICAS, (con mayúscula), no son TEOLOGÍA, por tanto no deben tener como fundamento la FE, sino premisas generales ciertas, (axiomas), y a partir de ellas, con razonamientos lógicos, que se comprendan, deducir verdades que no son evidentes por si mismas.

   No se puede creer algo tan absurdo como que : más por más = más o lo que es lo mismo : (más)² = más, (por mucha fe que tengamos en el profesor), pues es evidente que si dividimos por “más” la igualdad nos afirma que más = uno, es decir el adverbio de cantidad “más” ha dejado de ser un adverbio para convertirse en el número uno; sólo con muchísima FE es posible admitir esta “HEREJÍA” y después seguir trasmitiéndola a las generaciones siguientes; podría exponer decenas de estas herejías.    

   Es fundamental que las MATEMÁTICAS sean una ciencia exacta, ciencia de la verdad, [para mentiras, (el hombre es el único animal mentiroso), basta con las encuestas, las estadísticas oficiales y sobre todo con las afirmaciones de los políticos, a los que muchos borregos los creen], y que los profesores de MATEMÁTICAS, ( filosofía de los números) aunque no sean matemáticos, (pero algún alumno puede llegar a serlo), expliquen verdaderas matemáticas, para poder afirmar que las MATEMÁTICAS son “la reina de las ciencias”, ¡LO SON!, y no “actos de fe en los profesores” y “juegos malabares con los símbolos de los números” (no con los números), para que nunca más sea verdad la afirmación de PLATÓN y todo el mundo sepa que “los verdaderos matemáticos SI están en condiciones de sacar conclusiones razonables y útiles”.

   Las MATEMÁTICAS no son una ciencia experimental y son demasiados los experimentos y los inventos, sin sentido, de algunos iluminados, falsos matemáticos y verdaderos gurús, a los que nadie se ha atrevido a cuestionar, pobre del que se atreva a decir en clase : ¡eso está mal!. 

   En MATEMÁTICAS no hay nada que inventar, pero si mucho que descubrir, para que esta ciencia siga siendo uno de los pilares que sirvan de base para el desarrollo de las demás ciencias, pues la palabra y el número han sido, son y serán imprescindibles para esta especie que se define a si misma como Homo sapiens sapiens, lo que me parece demasiado auto bombo, una vez sapiens me parece fuera de lugar, dos es de cretinos, (si para abreviar a alguien se le ocurriera Homo sapiens², el disparate sería mayúsculo), pues somos un CONJUNTO de ignorantes, entre los que, como decía el Sr. Felipe, camionero, de tarde en tarde han aparecido algunos individuos con inteligencia y medios suficientes , que han permitido progresar al resto de los humanos.

   Dos ejemplos de utilización de conceptos erróneos, hay más, sacados del trabajo de Carlos Julio Moreno, de City University of New York, titulado :

 

Fermat^,s Last Theorem:

From Fermat to Wiles^*

   Página 5

   Example 1. We considerer the curve of conductor N = 11 defined by the equation

 y² – y = x³ – x²

esta expresión no es una ecuación aritmética, tampoco define una curva, ni hay “conductor N = 11”; simplemente iguala las coordenadas de dos puntos, l_z de un punto en un plano cartesiano : P₁( z = l_z = x³ - x² ) a la l_z de otro situado en otro plano cartesiano : P₂( z = l_z = y² - y ), la ecuación los sitúa en dos superficies distintas cuyas coordenadas “z” son ::

z = l_z = r² – r = r(r –1)       y       z = l_z = r³ – r² = r²(r – 1)

por tanto la solución es la de la ecuación :

r(r – 1) = r²(r – 1)

cuyas soluciones son : r = 0 y r = 1

   Estas superficies se cortan en el plano cartesiano horizontal, siendo la intersección una circunferencia de radio la unidad (r = 1), Si “r” está en el eje OX r = x = 1 y si está en el OY  r = y = 1, por tanto los únicos puntos con coordenadas cuantificadas con enteros son :

P₁(x = 1, y = 0, z = 0) y P₂(x = 0, y = 1, z = 0)

por tanto no hay más solución que x = 1 e y = 1.

   Si las unidades de longitud de “x” e “y” fueran números fuera de los ejes cartesianos, si y > x , y·cos.α = x, y³·cos³.α - y²·cos².α = y² – y; ecuación  distinta de la planteada, la única solución es : y = 1 ( el cero es otra solución, pero el cero expresa que no hay ni número, ni longitud, ni ángulo posibles).

    Página 7

w = dx/(2y + a₁x +a₃)

esta ecuación es sencillamente ABSURDA, cualesquiera que sean los conceptos expresados con las letras “w”, “y”, “a₁” y “a₃”, pues sólo  “x”  puede ser una variable continua y “dx” su diferencial; si “x” no fuera una variable continua dx = 0 y la ecuación sería más absurda todavía.

   ¡ Hace falta mucha fe para creer que Wiles demostró la C. de Fermat ! sencillamente tuvo fe (Homo religiosus) en sus maestros, aceptó sus enseñanzas como dogmas, (no las cuestionó) fue engañado, se ha engañado a si mismo y ¡ Ha engañado a todos los profesores !, que le han creído, por ser un destacado teólogo de las “matemáticas-religión”, para desgracia de la humanidad, en general, y de los estudiantes, de modo especial, que siguen siendo engañados por quienes debieran explicar MATEMÁTICAS y no misterios de una religión sin dios.

   A continuación se proponen dos cuestiones :

   1ª) Un ejercicio que consiste en desarrollar una potencia de índice no decimal en un polinomio, con la condición de que “b” y “c” sean números en base diez.

   2ª) Un problema de espaciometría que, por supuesto, también tiene solución, pues si no la tuviera no sería un problema de matemáticas.

EJERCICIO DE MATEMÁTICAS

7⁴ = b⁴ + 4b³·c + 6b²·c²  + 4b·c³ + c⁴

7^√19 = b^√19 + ·········· + c^√19   ( 4 < √19 < 5)

7⁵ = b⁵ + 5b⁴·c + 10b³·c² + 10b²·c³ +5b·c⁴ + c⁵

   Cualquier alumno puede sustituir “b” y “c” por tres parejas de enteros y por infinitos números en base diez en la 1ª y 3ª; es un ejercicio sencillo; ¿Alguien sabe hacer lo mismo desarrollando la 2ª?, también es sencillo, posiblemente no para cualquier alumno, pero si para cualquier matemático. 

PROBLEMA DE ESPACIOMETRÍA (MATEMÁTICAS)

   Calcular la longitud de la curva en la que se encuentran los puntos de coordenadas P(l_x = x, l_y = y = x⁵), entre x = 1   y   x = 10.

   Este problema tiene solución, pero no se puede obtener integrando, como se me explicó a mi, (más bien intentando integrar), la ¿ecuación?:

dL = dr = (dx² + dy²)^1/2 = (1 + (y’)² )^1/2·dx

L = ∫₀¹⁰[1 + (y’)² ]^1/2·dx

   Por supuesto con el método de integración actual no se llega a la solución correcta, por mucho cambio de variable y sucesivas aproximaciones y demás zarandajas que se utilicen.

   Por otra parte es evidente que aún admitiendo que : dr = (dx² + dy²)^1/2 es evidente que dL > dr = [1 + (y´)²]^1/2·dx = (dx² + dy²)^1/2 .

   También es evidente que al variar “x” no sólo varía “y”, pues también varía el ángulo que forma cada tg. a la curva, en todos los puntos situados en cada dL de la curva con el eje OX, por tanto dL depende de “dx” y de un ángulo variable, w < 90º

dL = f(xⁿ,w,dx) > dr = f(xⁿ,90º,dx) = [1 + (y’)² ]^1/2·dx

   La obtención de la ecuación, L = f(x,w), que expresa LA LONGITUD EXACTA, (y todas las longitudes, cualquiera que sea “n” en y = xⁿ) entre dos puntos cualquiera de las curvas, pues se deduce para todos los valores de “n”,  como diría Fermat, es “maravillosa”, tampoco cabe en un margen, pero si en un folio .

   Los fundamentos del cálculo integral y el cálculo de las longitudes curvas anteriores, entre otras cuestiones, pueden quedar como problemas, no sin resolver, si no resueltos, pero desconocidos por los que enseñan “sofismas matemáticos”, como ocurrió con el último T. de Fermat, cuya solución no es la de Wiles, si no las expuestas aquí, y otras más, (hasta una veintena), que no se exponen, además de la maravillosa demostración de P. Fermat.

   Lo expuesto es fácil de entender, o en su caso de rebatir, por cualquier persona inteligente, y mejor aún por un matemático, estoy dispuesto a aclarar dudas y estaré muy agradecido si me permite discutirlas con él, para que estas verdades, sean contrastadas y puedan pasar a las generaciones siguientes, pues de nada serviría si no llegara a quienes estudian matemáticas y pasado un tiempo fuera destruido, por lo que espero que alguien se interese por lo aquí expuesto y contribuya a su divulgación.

 

                                    ·Y

  Gráfica 1

 

 

                                                           ·.P₃

                                                            dy_{1 =} ( n·x^n-1·dx + ····· + dxⁿ ) = dy₁

                                                P₂  .·    .·

 

                                                              l_x2 = (x + dx)ⁿ = l_x1 + dy₁

                                          l_x1 = xⁿ

 

 

                     dy = dxⁿ       ·P₁

                                O ·dx·        x  ·dx·                                                       ··X

                                Y ·

   Gráfica 2

 

 

                                         · P₄

                                           dy₁ = tg.j·dx = n·x^n-1·dx >> dxⁿ

                                O ·  dx·                         · X

Es evidente que dy₁ = l_x2 - l_x1 es mucho mayor que dy =·dxⁿ; los puntos de coordenadas : P₁ (dx, y = dxⁿ), P₂ (x, y = xⁿ) y P₃ (x + dx, y = (x + dx)ⁿ), se encuentran en la misma curva y en la misma superficie, pero el punto P₄ de coordenadas P₄ (dx, y = n·x^n-1·dx), de la Gráfica 2, trasladado a la Gráfica 1, se encuentra en otra curva y en otra superficie.

   Las Matemáticas han avanzado poco desde Pitágoras hasta Descartes y Fermat, y muy poco desde éstos hasta el siglo XXI, pero si Fermat hubiera explicado su teorema y algún matemático, le hubiera APRENDIDO las matemáticas hubieran avanzado y no retrocedido, aunque para un famoso clérigo-matemático no merecía la pena perder tiempo en su demostración.

   Se han evidenciado algunos sofismas, pero hay muchos más , que no se han expuesto en este trabajo.

   ¡Si las ciencias, que necesitan a las matemáticas, han llegado al actual nivel de conocimientos, con pocas matemáticas aplicables! ¿Adonde podrían haber llegado con unas matemáticas verdaderas y aplicables?.

   Un silogismo filosófico que equivale a un teorema, si la premisa general es cierta, es :

   Premisa General : “Todos los matemáticos son inteligentes”; razonamiento lógico : si usted es matemático, “usted es inteligente”.

   Sin embargo no es cierto deducir que “si usted es inteligente, usted es matemático”, aunque puede ser un sofisma afortunado, pues espero que haya muchas personas inteligentes que, aunque no sean matemáticos, las puedan entender, aprender, convertirse en matemáticos y explicarlas.

   Por desgracia, ha habido pocos matemáticos pero si muchos teólogos, de las matemáticas, que las han inhabilitado, mejor aún ¡ Las han escojonado!.

   Es muy fácil conducir un rebaño de borregos, los borregos tienen tanta fe en los pastores que nos siguen a donde queramos llevarlos, incluso al matadero, los políticos también lo hacen con las personas, llevándolas a la guerra y al suicidio, (matadero, al fin) aunque lo hagan en nombre de alguno de los innumerables dioses que todavía están en activo, incluido el dios petróleo; espero que nadie lo haga en nombre de las matemáticas; ¡Las personas inteligentes no deben comportarse como los borregos!.

 

RESUMEN

   Las mal llamadas matemáticas modernas se fundamentan en muchos falsos axiomas y, de ellos, por muy inteligente que sea la persona y lo lógico que sea el razonamiento deductivo que se haga, sólo se llega a falacias o sofismas, falsos teoremas, y de éstos a falsos corolarios, impidiendo que se amplíen las verdaderas matemáticas y que contribuyan al desarrollo de todas las demás ciencias; las falsas matemáticas, además de inútiles, deforman mentalmente a los estudiantes; algunos serán profesores en el futuro, éstos seguirán deformando a sus alumnos y así sucesivamente, si no se pone fin a esta situación, que ya dura varios siglos; ¿seguiremos utilizando indebidamente un recurso tan valioso, y al parecer tan poco frecuente, como es la inteligencia de aquellos alumnos a los que “se les dan bien las matemáticas”, cuando pueden dedicar su inteligencia al desarrollo de las auténticas matemáticas?.

   ¿Las matemáticas son difíciles?, pudiera ser, pero lo cierto es que están mal concebidas y peor explicadas.

   Tengo la esperanza de que algún profesor no deformado intelectualmente, reflexione sobre lo expuesto, y mediante un razonamiento deductivo compruebe su veracidad y las matemáticas vuelvan a ser “LA REINA DE LAS CIENCIAS”, una disciplina que nunca debió derivar sin rumbo y que a los alumnos se les expliquen matemáticas, para que las puedan aprender, y no se les impongan dogmas.

 

   Dos cosas son infinitas : el universo y la estupidez humana; y no estoy seguro sobre el universo. ( Albert Einstein )

   Desde luego : el universo no es infinito, lo es el espacio; espero que la estupidez humana tampoco lo sea.