ARITMÉTICA

ARITMÉTICA

 

   Definición de Aritmética :“Disciplina de las matemáticas que estudia las propiedades de los números y las operaciones que con ellos pueden realizarse”.

   Definición de Número : “cada uno de los entes abstractos, (inmateriales e invisibles), con los que se pueden cuantificar elementos de cualquier concepto”; un número es la respuesta concreta y exacta a la pregunta : ¿cuánto o cuantos?, por ejemplo : ¿ cuantos dedos hay en una mano normal?, la respuesta es cinco dedos, (5 dedos); ¿cuánto mide la diagonal de un cuadrado de un metro de lado?, la respuesta concreta y exacta es : “raíz cuadrada de dos metros”, que se pueden expresar con los símbolos del número dos (2) y con el de la raíz (√), ²√2 o bien en forma exponencial : ²√2 = 2^1/2, otro ejemplo : ¿Cuánto mide el lado de un cubo de dos metros cúbicos?, la respuesta es : “raíz cúbica de dos” que se puede expresar : ³√2 = 2^1/3 .   

   El número es un concepto abstracto, ilimitado y discontinuo, por tanto podemos afirmar que por muchos que sean los elementos de un conjunto discontinuo, siempre tenemos un número entero para cuantificarlos, pero no ocurre lo mismo con los conceptos continuos, pues aunque elegida una unidad de cualquier concepto continuo, a cada número le corresponde, (cuantifica), un ente de ese concepto, por ejemplo : elegido el metro como unidad de longitud, siempre tendremos : cinco metros, (5 m), sesenta metros, (60 m), etc, no a todas las longitudes las podemos cuantificar con números, por ejemplo la longitud de una circunferencia de 1 m de radio, no la podemos expresar con un número, no tenemos números para todas las longitudes, ¡sólo podemos utilizar un número en base diez, o en otra base, aproximado! : l = 2·p » 2·3,14 m, l = 2·p » 2·3,141, l = 2·p » 2·3,1419 m, (longitudes inferiores a la real), o l = 2·p » 2·3.15 m, l = 2·p » 2·3.142 m, l = 2·p » 2·3.1416 m, etc, (longitudes superiores a la real).    

   ¿Que operaciones podemos realizar con los números?

   En primer lugar vamos a aclarar la diferencia, que es fundamental, entre los conceptos “número”, “un número” y los “símbolos” con los que representamos a los “números”; el concepto “número” incluye a todos los números, (como el concepto “naranja” incluye a todas las naranjas), pero “un número” es un elemento, (inmaterial), del concepto “número”, una naranja es un elemento, (material), del concepto “naranja” y un “símbolo” es un volumen de tiza, tinta, grafito, etc., (elementos materiales).

    Aclaremos esta diferencia con algún ejemplo, utilizando los conceptos “número” y “naranja”; y  “los números” y sus “símbolos” en base diez.

    Es evidente que el número tres, cuyo símbolo es 3, y el número cinco, cuyo símbolo es 5, son dos números, por tanto es evidente que el número tres, (3), más el número cinco, (5), son dos números, pero también es evidente que “tres números” más “cinco números” son “ocho números”, como “tres naranjas” más “cinco naranjas” son “ocho naranjas”, aunque ninguno de los “ocho números” sea ni el “tres” ni el “cinco”:

una naranja + otra naranja = 2 naranjas

el número 3 ( un número) + el número 5 ( otro número) = 2 números.

3 naranjas + 5 naranjas = 8 naranjas

3 números + 5 números = 8 números

   Es evidente que sólo hay un número “tres”, por tanto el número “tres” más el número “tres” carece de sentido ya el “tres” es un solo número, pero :

3 números + 3 números = 6 números,

3 naranjas + 3 naranjas = 6 naranjas

    ¿Podemos hacer lo mismo con la multiplicación?

   El número “tres” multiplicado por el número “tres” es el número “nueve” y el “tres” por el “cinco“ es el número “quince” :

el número 3 * el número 3 = número 9:;    3* 5 = 15

una naranja * otra naranja = concepto absurdo (no existe)

3 naranjas* 3 naranjas = ¿9 naranjas cuadradas? (absurdo)

3 números* 3 números = ¿9 números cuadrados? (absurdo)

   Ni las naranjas ni los números son cuadrados, pero .

3 naranjas * 3 = 9 naranjas (se multiplica el “número”, no las naranjas)

3 números * 3 = 9 números, pero tres (3) * tres (3) = 9

   Conclusión que se deduce de estos razonamientos : Sólo se puede multiplicar por si mismo, y por otros elementos del mismo concepto, el elemento número, siendo el resultado de la multiplicación un número, por tanto un elemento del mismo concepto.

   Tenemos dos clases de números :

   1ºa) Los que, elegida una base de numeración, se pueden representar, (escribir), con los símbolos de la base; en base diez, los enteros y decimales exactos; éstos se convierten en enteros multiplicándolos por la base o por una potencia de la base.

   1ºb) Los cocientes de enteros en los que el denominador es un número primo, (excepto el dos), o producto de números primos, (incluido el dos, conocidos como quebrados), p-ej., 10/13 = p, 3/13 = q, “p” y “q” no tienen escritura en base diez pero : 10/13 + 3/13 = 13/13 = 1 y 10/13*3/13 = 30/169.  .

   2º) Los que no se pueden representar con los símbolos de la base, como las raíces, no enteras y sus múltiplos, para los que además de los símbolos de la base se utiliza el símbolo : ⁿ√ , o ( )^1/n p.ej., ²√2  = (2)^1/2,  ³√2 = (2)^1/3.

Propiedades de los números :

   Con todos los del grupo 1º) se pueden hacer operaciones de suma, resta, multiplicación y división, el resultado de estas operaciones es siempre un número, tenga o no, escritura en base diez.

   Con los del grupo 2º), las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son limitadas; cuando son posibles, el resultado es siempre un número.

   ¿Para que sirven?

   Los enteros del grupo 1ºa) sirven para cuantificar los elementos de conceptos discontinuos, p.ej. el número de neutrones de la masa, o materia, que hay en la tierra, es un número entero; además para cuantificar algunas, (no todas), longitudes, superficies, volúmenes y ángulos.

   Algunos de los del grupo 2º) sirven para cuantificar conceptos continuos y  como factores  pueden multiplicar  longitudes, superficies y volúmenes; p-ej. L = √2 metros, S = 5√11 metros cuadrados, V = 7√3 metros cúbicos.

 

   Los que tenemos ciertas inquietudes y nos interesan las matemáticas, comprobamos que en esta disciplina hay una gran anarquía, en cuanto a la forma de expresar los distintos conceptos, pues carecemos de un lenguaje universal, necesario para que cualquiera pueda conocer el significado de los símbolos que se utilizan.

   Es evidente que cualquier persona que tenga unos conocimientos mínimos de física y química sabe que la fórmula del agua es “H₂O” y el símbolo del hierro “Fe”, y que todos y cada uno de los “elementos” se identifican con un símbolo que es el mismo en todo el mundo.

   En matemáticas está todo el mundo de acuerdo en los símbolos de los números en base diez, pero cuando se trata de números desconocidos se suelen utilizar los de las letras “x”, “y”, “z”, a, b, c, etc; las mismas letras “x”, “y”, “z”, se utilizan para identificar las variables longitudinales continuas en los ejes cartesianos, lo que, al menos a mi, con mi corta inteligencia, no me resulta congruente, en la ciencia, según Gaus, reina de las ciencias, por lo que yo personalmente reservo las letras : “x”, “y”, “z”  para identificar las variables continuas y unidireccionales en los ejes cartesianos y “r” para la variable longitudinal, continua, en cualquier dirección, en el espacio, incluidos los ejes y planos cartesianos; para las superficies la letra “s” y para los volúmenes la letra “v”; para los números desconocidos las primeras letras del alfabeto latino y si se precisaran muchas, las primeras con subíndices,”a₁”, “a₂”, “b₁”, etc; para los ángulos letras del alfabeto griego; para las sumas de números, (concepto discontinuo), el símbolo “S” y para las sumas de longitudes, superficies y volúmenes, (conceptos continuos), el símbolo “∑”; por supuesto para los adverbios de cantidad : “más”  “+” y “menos”  “- “, para la preposición “por” : “*”, o (·), para el verbo “dividir”, “dividido”, “:” o “/” y para el adverbio “igual” “=” .       

 

Estudiemos ahora las ecuaciones aritméticas.

   Para establecer una ecuación aritmética se necesitan, al menos, tres números, dos elegidos al azar, o impuestos por nosotros, y uno que le impone la ecuación; si imponemos tres, dos los impone la ecuación, etc, analicemos las posibilidades de establecer ecuaciones con los números en el siguiente experimento : 

   Metamos en un bombo 25 bolas en las que hemos grabado los símbolos : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,√2,√3,√5,√6,√7,√8,√10,³√2,³√3,³√4,³√5,³√6,³√7,³√9,³√10

   Si hacemos extracciones de tres bolas, lo más probable es que saquemos símbolos de enteros y símbolos de raíces en cada terna, pero es posible sacar tres símbolos de enteros en una y de tres raíces en otra.

   Vamos a suponer que en la primera terna sacamos los números : (7,4,3), es un caso en el que 7 = 4 + 3, ecuación con sólo tres números, si se vuelven a meter en el bombo, todavía podemos sacar, aunque sea poco probable (9,5,4); 9 = 5 + 4, (8,6,2),  8 = 6 + 2, etc.

   Si sacamos en la primera terna (√3,³√5,³√9), sólo podemos establecer ecuaciones de la forma : √3/⁵√9 = p; ³√5/³√9 = q,√3/³√5 = p₁, etc, y de la forma :

³√9(p + q) = √3 + ³√5 (cinco números)

   Si hubiéramos sacado en la primera terna : (10,7,5), 7 + 5 = 10 + 2, ecuación con cuatro números, con (9, 6, 1);  9 = 6 + 1 + 2, etc.

   Si sacamos en una terna : 7, 3, √2, no podemos establecer una ecuación ni con tres, ni con cuatro, números, pero si con cinco : 3/7 = p, √2/7 = q; 7·(p + q) = 3 + √2.

   Pero la ecuación : 7 = 4 + 3, si la podemos expresar con cinco, 7·p₁ = 4, 7·q₁ = 3  : 7(p₁ + q₁) = 4 + 3, pero como (p₁ + q₁) = 1  no aparecen en la ecuación.

  La ecuación  9 = 6 + 1 + 2, también la podemos expresar con cinco : 9(p₂ + q₂) = 6 + 1

   CONCLUSIÓN

   Siempre que elijamos tres números podemos establecer una ecuación con dos más, esto es evidente, por muy pocos conocimientos de matemáticas que se tengan.

   En la inecuación : a ¹ b + c, con (a,b,c) enteros, lo inteligente es establecer una ecuación con cinco números, ya que así estudiamos todas las posibilidades.

a·p = b,  a·q = c, a(p + q) = b + c;      aⁿ·pⁿ = bⁿ , aⁿ·qⁿ = cⁿ ;   aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ

  Analicemos estas dos ecuaciones : aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ (1)

            aⁿ = bⁿ + cⁿ              (2)

   La (1) se verifica con todos los valores enteros (a,b,c), que queramos elegir, p y q los impone la ecuación, “n” no depende de ninguno de los números ; a, b, c. p, q.

   La (2) sólo es posible si se cumplen estas condiciones :

  1^a) Que : (pⁿ + qⁿ) = 1, esta condición impone las dos siguientes .

  2ª) Que  a > b,  a > c.

  3ª) Que : a < b + c.

para comprobar si (a, b, c) pueden ser tres enteros, basta con comprobar si es posible :  (pⁿ + qⁿ) = 1

   Cualquier estudiante universitario debiera saber que : p = cos.α y q = cos.β, por tanto :

(pⁿ + qⁿ) = cosⁿ.α + cosⁿ.β = 1 = cos².α + sen².α = sen².β + cos².β = cos².α + cos².β

pero esta ecuación “unigonométrica”, con un solo ángulo (α, o β) o “bigonométrica”, con dos ángulos, (α y β) sólo es posible si :  (α + β = 90º) y n = 2;  por tanto es imposible si n > 2.

   Supongo que a ningún profesor de matemáticas se le escapa que esta deducción es una demostración del mundialmente conocido como “último teorema de Fermat”.

   Espero que esta demostración “a-rit-mé-ti-ca”, que nada tiene que la relacione con el disparate de la conjetura S.T.W., no requiera de “técnicas especiales”, ideadas por Wiles; las matemáticas no son una ciencia “técnica”, aunque las ciencias, sobre todo las técnicas, como son las ingenierías, si precisan de las matemáticas. 

 

   Es evidente que los adverbios no son números, por tanto no se pueden multiplicar ni por si mismos ni por otros adverbios, por tanto no es verdad que “más”*”más” = “más”,  que “menos”*”menos” = “más”, ni que “más”*”menos” = “menos”, estas multiplicaciones son absurdas, pero se explican en clase como si fueran AXIOMAS matemáticos.

   ¿De donde procede esta FALACIA?

   ¡Esta FALACIA procede de una regla nemotécnica!

        Muchas veces me he preguntado : ¿Cómo es posible que se pueda confundir una REGLA NEMOTÉCNICA con un AXIOMA?.

   Espero que ningún estudiante de Física, y menos un profesor, confunda una regla nemotécnica con una verdad; como la regla nemotécnica que para recordar las distintas unidades en electrotecnia, usábamos los estudiantes : “ Don Amperio y Don Faradio se fueron a dar un Voltio, se encontraron con Don Julio,  visitaron a Don Ohmio le metieron en un Watio y le azotaron el Culombio”; espero que nadie que se encuentre en la calle con una persona de nombre Julio, piense se ha encontrado con una unidad de trabajo o energía eléctrica.

   Desconozco quien fue la persona que se percató que los signos que deben preceder a los términos del producto de dos, o más, polinomios con números precedidos de los signos : “+” y “-”, (adverbios de cantidad), son muy fáciles de colocar sin equivocarse, si se tiene en cuenta esta regla : “a los precedidos : del signo + si se multiplican por precedidos del signo “+” se les pone el signo “+”, del signo “+” si se multiplican por precedidos del “-” se les pone “-”, del signo “-” si se les multiplica por precedidos del “-” se les pone “+” ; no es ni parecido el significado del adverbio  “IGUAL”, que expresamos con el signo “ = ”, al de la oración gramatical “SE LES PONE El SIGNO”, ( o se les coloca el signo).

   Abreviadamente se dice : + por + = +; — por — = +  y + por — = —.

   Debiera ser evidente que esto es una regla para no equivocarse con los signos, pero no son multiplicaciones de los adverbios de cantidad.

 

   De cualquier manera que se analicen los teoremas de Pitágoras y de Fermat, ambos son dos casos singulares del T. de Marcelo, que al parecer nadie conoce, por lo que se expone a continuación :

El T. de MARCELO demuestra que en la ecuación :

aⁿ ( pⁿ + qⁿ + jⁿ ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ

es posible : pⁿ + qⁿ + jⁿ = 1, con “n”, “a”, “b”, “c” y “d” enteros.

   La ecuación general de Marcelo, que se verifica siempre, con números, tengan o no escritura decimal, siendo : a·p = b, a·q = c, a·j = d, etc, es :  

a·(p + q + j + t + ··· ) = b + c + d + f + ·····

y con todas las potencias : aⁿ·(pⁿ + qⁿ + jⁿ + tⁿ + ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + f ⁿ + ···

   Si imponemos que a > b > c > d > e > ···  etc, es evidente que : pⁿ <<1, qⁿ << 1, etc, por tanto siempre : pⁿ + qⁿ + jⁿ + tⁿ  < 4 y pⁿ + qⁿ + jⁿ < 3; por otra parte es evidente que : p = cos.α, q = cos.β y j = cos.φ. 

   “TODOS LOS NÚMEROS ENTEROS PUEDEN FORMAR PARTE DE UN CUARTETO QUE VERIFICA LA ECUACIÓN DE MARCELO”, ecuación con 7 variables, más el índice “n”; podemos tomar enteros ( a, b, c, d ) , a > b , a > c, a > d;  siempre existe un número “w” del grupo “1ºb” que la verifica :

0 < w = (cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ) < 3   (3)

 Es evidente que el único valor de “w”, posible para que w·aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ siendo entero  (bⁿ + cⁿ + dⁿ)^1/n = a·w^1/n ,  es w = 1.   

   En la ecuación (3) tenemos cuatro variables, más la “n”, (w, α, β, φ), “w” es función de tres variables; si fijamos w = 1, es evidente que : 

   1º) Al ser enteros “a”, “b”, “c” y “d” es seguro que :  cos.α, cos.β y  cos.φ  son, los tres, números del grupo “1ºb” y es posible la solución w = 1

   2º) Que “n” también es entero, (las bases se multiplican por si mismas, un número entero de veces), pues w = 1 es incompatible con todos los índices no enteros, ya que es imposible que la suma de “números no decimales” (raíces sin escritura decimal) sea un número entero, podemos conseguir aproximaciones, pero no un número entero.

   El número de cosenos que son cocientes de enteros y el de índices “n” enteros es ilimitado y su suma un número del grupo B y w = 1 es una solución, por tanto no se  puede afirmar que “no es posible la ecuación” :

aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ

con “a”, “b”. “c” y “d” enteros, para algunos valores de n > 1 y entero.

   Hay otras demostraciones que no se exponen aquí.

   Lo más importante no es saber si hay o no soluciones, pues ya se conocen algunas, p.e : 6³ = 5³ + 4³ + 3³, (en esta ecuación es fácil comprobar que cos³.a + cos³.b + cos³.j = (5/6)³ + (4/6)³ + (3/6)³ = 1 y es evidente que existen cuatro esferas de radios : r = 6 unidades de longitud, 5 (udl), 4 (udl) y 3 (udl) y V₆ = V₅ +  V₄ + V₃); Es evidente que un cubo si se puede descomponer en tres cubos, por eso es posible encontrar :

a³ = b³ + c³ + 1³

cuando se buscan soluciones de :   a³ = b³ + c³ con enteros.