Elipses y Elipsoides

 

LA ELIPSE REGULAR

    Empecemos por recordar algunos conceptos básicos de las matemáticas, que al parecer, han sido olvidados, o tal vez, algunos, ¡nunca fueron explicados a los alumnos!.

   Si buscamos en el diccionario las palabras “matemática” y “teorema”, encontramos la definición :

MATEMÁTICA: “disciplina que estudia, mediante un razonamiento deductivo y riguroso, las propiedades de los entes abstractos, tales como los números, las figuras geométricas, etc”.

¡No se debe confundir un número, con su símbolo!

   TEOREMA : Un teorema es la conclusión de un razonamiento deductivo y riguroso, basado  en una premisa general cierta,   (Axioma o Teorema ya demostrado), cuya conclusión es una verdad ¡incuestionable!.

   NÚMERO ; El número es un concepto abstracto, (inmaterial), ilimitado y discontinuo.

   “Un número es cada uno de los entes abstractos, (del concepto “NÚMERO”), (inmateriales e invisibles), con los que se pueden cuantificar elementos de cualquier concepto”.

   Todos los números son reales y naturales; descubiertos por el hombre, no son inventados; es evidente que el cuadrado de “Raíz cuadrada de Dos”, es Dos y “Raíz cuadrada de Dos”, es un número, que define, exactamente las unidades de longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud; carece de lógica que los catetos se cuantifiquen con un número natural y la hipotenusa no.

   El concepto de “número irracional”, es absurdo; el concepto “irracional”, es aplicable a determinados animales, pero no a los números. ¿Por qué “Raíz cuarta de Cinco”, tiene que ser irracional? y no natural, si su cuarta potencia es “Cinco”, ¡un número natural!

   Estudiemos los números, representados por sus símbolos :

1,  √2,  3,  π,  4,  2/3,   :

   Los seis números son naturales, la diferencia está en que los números : “Uno”, “Tres” y “Cuatro”, están en base diez, mientras que los otros no están en bases diez, pero todos son reales y naturales, ya que “Raíz cuadrada de Dos”, es un número que cuantifica una longitud y longitud y número son conceptos reales y naturales; Pi, (π), es un número tan real y natural, como lo son todos los números y además, es un número “mágico”, o “milagrero”, ya que cualquier segmento de recta, multiplicado por π, nos define la longitud de una circunferencia, ¡Una longitud curva!; el número “Dos Tercios”, lo mismo puede ser el seno de un ángulo, que la tangente de otro. 

   Comprobemos lo que parece mágico o milagroso :

   Cualquiera que sean las unidades de longitud, (udl), de una recta :

d (udl) = a (udl) + b (udl), si se multiplican por el número “p”, nos proporcionan  :

d·π = L (longitud de una circunferencia)

L = (a + b)·π (longitud de una elipse)

   Las longitudes “2a” (udl) y “2b” (udl), son los ejes de las distintas elipses y todas las elipses tienen longitudes iguales;  si . a = b = r, “d” es el diámetro de una circunferencia.

L = π·d = 2·π ·r  (udl)

   La superficie del círculo es :

S = 2·π·r·r/2 (uds)

   Ejemplos :

   Si  : d = 10 unidades de longitud, (udl),  a = 4 (udl)  y b = 6 (udl) :

L = π·d = π·10 = 2·π·r = 10·π  (udl)

L = (a + b)·π = (4 + 6)·π = 10·π (udl)

S = 2·π·r·r/2 = 25·π  (uds)

S = 2·π·a·b/2 = 24·π  (uds)

   La elipse de mayor superficie es el círculo.

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   La superficie de un rectángulo de lados : L₁ = 2·a y L₂  = 2·b :

S = 2·a·sen.90º·2b = 4·a·b (uds)

   Multiplicada por  “π”, nos proporciona una superficie curva, la superficie de un elipsoide regular :

S = 2·a·sen.90º·2·b·π = 4·a·b·π (uds)

   Si : a = b = r :

S·π = 4·π·r²

¡SUPERFICIE DE UNA ESFERA!

   Superficie del elipsoide de revolución : 

S = 4·π·a·b

   Superficie del elipsoide irregular, de semiejes . “a”, “b”, “c”. :

S = 2·π·(a + b)·c

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   Volumen de los elipsoides de revolución :

V₁ = 4·π·a²·b/3   y   V₂ = 4·π·a·b²/3

   Volumen de la esfera, a = b = r :

V = 4·π·a³/3 = 4·π·r³/3

   Volumen del elipsoide irregular :

V = 4·π·a·b·c/3

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   Parece más que probable que los filósofos de la Antigüedad, desconocían el cálculo integral, pero llegaron a las mismas fórmulas, para la superficie del círculo y el volumen de la esfera :

ƒ2·π·r·dr = π·r² (superficie del círculo)

 ƒ4·π·r²·dr = 4·π·r³/3 (volumen de la esfera)

    Es casi seguro que los sumerios y los egipcios, conocían el número, que hoy llamamos : “Pi”