La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo

    Se admite que la cuadratura del círculo es imposible, definiéndola como el hecho de dibujar un circulo y un cuadrado, que tengan ambos, igual superficie. 

   Para un matemático, si le hubiera, sería evidente, que una superficie es un concepto continuo y que si existe un cuadrado de un metro de superficie, también existe un círculo de un metro de superficie.

   Un dibujo se realiza, por ejemplo, en la superficie de un concepto material, “una tabla”, “una chapa”, “un folio de papel”, etc., con un elemento también material, “tinta”, “grafito”, “bajo relieve”, etc., por lo tanto lo que se ve es un volumen, con el que se dibuja el perímetro, de una superficie, más o menos, cuadrada, circular, o de otras formas.

   Definición de los conceptos : “número”, “espacio, “volumen”, “superficie” y “longitud”.

     EL NÚMERO), El número es un concepto abstracto, (sin masa), independiente del concepto espacio, discontinuo, ilimitado y el único concepto en el que sus elementos, (cada uno de los números), se pueden multiplicar por si mismos, por otros números y por otros conceptos.

   El ESPACIO) El espacio es un concepto, abstracto, (sin masa), continuo, en tres dimensiones ilimitadas (tres longitudes perpendiculares en un punto).

   Volumen) El volumen es un concepto continuo, que ocupa espacio, tiene muchas formas, (ni los números, ni los espíritus, tienen forma), tiene tres dimensiones.

   Superficie) La superficie es un concepto abstracto, continuo, que no ocupa espacio, por lo tanto no puede tener tres dimensiones, tiene dos dimensiones.

   Longitud) La longitud es un concepto abstracto, continuo, que no ocupa espacio, tiene una dimensión.

    Tenemos tres clases de números :

   1ª) Elegida una base de numeración, por ejemplo, la base diez, los que se pueden expresar con los símbolos : los enteros y sus submúltiplos :  “5” y “0,5”.  

   2º) los irracionales : “√5”

   3º) Trascendentes : “π” (pi)

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   Vamos a analizar varias superficies abstractas, (inmateriales), pero sin dibujarlas, teniéndolas en mente.

   1º) Un círculo de radio una unidad de longitud (1 udl) :

S círculo = π·1(udl)·sen.90º·1(udl) = π (unidades de superficie), (uds))

   2º) Un cuadrado de lados, una unidad de longitud (udl)  :

S cuadrado = 1(udl)·sen.90º·1(udl) = 1 (uds)

   Es evidente que la superficie del círculo es igual a la superficie de un cuadrado multiplicada por el número “pi : π”.

   Es evidente que el número “pi ”, tiene potencias y raíces, como las tienen todos los números, menos el “uno : 1”, que es potencia y raíz de si mismo.

   Es evidente, para cualquier persona, que existen longitudes de :

L = √pi

Por lo tanto cuadrados de superficie :

S cuadrado = √pi (udl)·sen.90º·√pi (udl) = pi (uds) = S círculo

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   Superficie del cilindro de base circular y de altura una longitud igual a la del radio del círculo :

   La superficie del cilindro está formada por dos círculos, (bases) más una superficie curva :

S cilindro = S_a 2 círculos + S_b 1 rectángulo

S cilindro = 2·pi·r·sen.90º·r + 2·pi·r·sen.90º·r = 4·pi·r² (uds)

   Es evidente que la superficie curva del cilindro, es igual a la superficie de un rectángulo de base la longitud de la circunferencia  y de altura el radio de la circunferencia.

   La superficie del rectángulo es igual a la de dos cuadrados de lados :

L₁ = L₂ = L₃ = L₄ = √pi·r (udl)

S (cuadrado) : = √pi·r·sen.90º·√pi·r = p·r² (uds) = S (círculo)

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   La superficie de la esfera es :

S = 4·p·r²

   Una superficie curva igual a cuatro superficies planas y también igual a la superficie de cuatro cuadrados de lados ;

L = √pi·r

   Con los mismos razonamientos se deduce que existen volúmenes esféricos u tetraédricos iguales.

¿ Quien tiene dudas de que una rueda (circunferencia), puede tener un metro de longitud?

TEOREMAS J.C.G.I

Teoremas de J.C.G.I

    Las Matemáticas son la rama más exacta de la Filosofía, son por lo tanto una ciencia deductiva, no una ciencia experimental; se fundamenta en verdades evidentes y/o demostradas previamente, es decir en axiomas y teoremas.

   Para la demostración de los teoremas que se deducen a continuación se parte de los axiomas y teoremas :

   Axioma : las longitudes de los lados de los triángulos, imponen :

 

L₁ ≥ L₂ ≥ L₃

 

 

   Axioma : Las unidades de longitud, (números), que cuantifican las longitudes son

L₁ = dⁿ, L₂ = f^m, L₃ = g^p

   Teorema demostrado : El teorema del coseno demuestra las relaciones de las unidades de longitud de los lados de todos los triángulos. 

    Teorema deducido del de Pitágoras : con las palabras, “seno de un ángulo” y “coseno del mismo ángulo”, se define al conjunto de números definidos por el cociente de un cateto dividido por la hipotenusa :

Cos.β = cateto adyacente/hipotensa

Sen.β = cateto opuesto/hipotenusa

   De la ecuación aritmética, con la hipotenusa = “a unidades de longitud“, cateto adyacente = “b unidades de longitud” y cateto opuesto = “c unidades de longitud” :

A = a²·(cos².β + sen².β) = a² =  b² + c² = B + C  → (cos².β + sen².β) = 1

se deduce que los números, ”a”, “b”, y “c” , son raíces cuadradas de enteros :

cos.a = ²√B/²√A     sen.a = ²√C/²√A

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 Ecuación que relaciona las unidades de longitud de todos los triángulos :

(dⁿ)² = (f^m)² + (g^p)² ± 2·f^m·g^p·cos.φ 

de la que se deduce :

cos.φ =  ((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²)/2· f^m·g^p

de la que se deduce que  numerador y denominador son cuadrados de raíces cuadradas de enteros y por lo tanto “enteros”.

   Como todos los enteros son raíces de enteros mayores, es evidente que la ecuación se verifica pudiendo ser, (dⁿ , f^m , g^p), tres enteros, tres irracionales, dos enteros y un irracional o un irracional y dos enteros.

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación :

   d²ⁿ = f^2m + g^2p ± 2·f^m·g^p·cos.φ

tiene infinitas soluciones con “d”, “f” y “g” enteros

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   ¿Qué ocurre cuando : j = 90º?

cos. 90º =  ((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²)/2· f^m·g^p

((dⁿ)² – (f^m)²  – (g^p)²) = 0

comparémosla con la ::

a² – b²  – c² = 0

de donde se deduce que la terna : ((dⁿ) ;  (f^m) ;  (g^p)), no puede estar formada por tres enteros, al menos uno, o dos son irracionales, de la forma :

(dⁿ = (d^q·√a)² ; f² = (f^t·√f)²   ; g²)  (1) 

(dⁿ = (d^q·√a)² ; f² ; g²)    (2)

(d²; (f^t·√f)² ; g²)   (3)

(d² ; (f^t·√f)² ; (g^w·√g)² )  (4)

con índices : (q. t, w) ³ 1

   Es evidente que en (1) : a = d^q·√a ;  b = f^t·√f)  y  c = g.

   Es evidente que en (2) : a = d^q·√a ;  b = f  y  c = g.

   Es evidente que en (3) : d = a ; b = (f^t·√f)   y  c = g.

   Es evidente que en (4) : d = a ; b = (f^t·√f)   y  c = (g^w·√g)

 

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE BEAL

   La ecuación :

(dⁿ)² = (f^m)² + (g^p)²

es posible con “d”, “f” y “g” enteros, si uno de los índices : “n”, “m” o “p” es uno. 

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   Si los índices son los mismos :

(d^m)² = (f^m)² + (g^m)² ± 2·f^m·g^m·cos.φ

cos.φ = (d^2m – f^2m – g^2m)/ 2f^m·g^m

   ¿Qué ocurre cuando : φ = 90º?

cos.90º = (d^2m – f^2m – g^2m)/ 2f^m·g^m

es evidente que si : “d”, “f” y “g”, son enteros :

cos.ô = f/d    y    sen.δ = g/d

cos^m.δ = f^m/d^m    y    sen^m.δ = g^m/d^m

1 = (cos².β + sen².β) = (cos².δ + sen³.δ) > (cos^2m.δ + sen^2m.δ)

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE FERMAT

   Son imposibles ecuaciones con enteros, si, m  >1 :

d^2m = f^2m + g^2m

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cos. 90º = 0  = ((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²)/2· f^m·g^m

((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²) = 0

(a² – b²  – c²) = 0   → ((d^m)² – (f^m)²  – (g^m)²) ¹ 0

CONCLUSIÓN = TEOREMA DE FERMAT

   Son imposibles ecuaciones con enteros, si, m  >1 :

d^2m = f^2m + g^2m

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    Veamos ahora como se verifica en los distintos triángulos.

   Equiláteros :  Si los lados se cuantifican con potencias, tanto de enteros como de irracionales, se verifica siempre la ecuación :

 (a^m)² = (a^m)² + (a^m)² – 2·a^m·a^m·cos.60º = a^2m

   Si están cuantificadas por el número “pi”, también se verifica la ecuación :

pi^2m = pi^2m + pi^2m – 2·pi^m·pi^m·cos.60º

CONCLUSIÓN = TEOREMA

    Las longitudes de las lados de los triángulos equiláteros, pueden estar cuantificadas tanto por potencias de números enteros como de  irracionales, incluso por potencias del número “pi”

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 Isósceles :                         (aⁿ)² = 2(b^m)² ± 2·b^2m·cos.φ

cos.φ = (a²ⁿ – 2b^2m)/2b^2m

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación es posible con potencias de enteros y con potencias de raíces cuadradas de enteros.

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  Isósceles y rectángulo :

(a^m)² = 2(b^m)² ± (2·b^2m·cos.90º = 0)

a = 2^1/n·b

 CONCLUSIÓN = TEOREMA

   Es evidente que esta igualdad sólo es posible con un entero.

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   Escalenos, con el mismo índice, Teorema de Fermat :      

(a^m)² = (b^m)² + (c^m)² ± 2·b^m·c^m·cos.φ

cos.φ = (a^2m – b^2m – c^2m)/ 2b^m·c^m

CONCLUSIÓN = TEOREMA

   La ecuación es posible con potencias de enteros y con potencias de raíces cuadradas de enteros.

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Ejemplo con : (n = 3), (m = 3), (p = 2) 

(8·√8)² = (7·√7 )² + 13² = 512  (1)

8³ = 7³ + 13²   (1a)

   Ejemplo con : (n = 2), (m = 2), (p = 3) 

29² = 25² + (6·√6)²  = 841 (3)

29² = 25² + 6³  (3a)

   3² = (2·Ö2)² + 1² = 9  (E. de Catalán)

3² = 2³ + 1 (Ea)

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   Las ecuaciones : (1). (3) y la de Catalán son geométricas y aritméticas, pero las : (1a), (3ª) y (Ea), sólo son aritméticas.

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CONCLUSIÓN = NO TEOREMA

    El triángulo es el gran desconocido de los matemáticos

Verdades matemáticas que ningún estudiante debe ignorar

Verdades elementales y fundamentales

    En todas las escuelas de primaria, de todo el mundo, incluidas las de las aldeas más remotas de Papua Nueva Guinea, se debieran enseñar a los niños las siguientes verdades :

   1ª) Que la suma : B + C = A sólo es posible con tres enteros y con sus múltiplos y submúltiplos.

    2ª) Que si B + C = A, y dividimos por “A” : 

B/A + C/A = A/A = 1

   3ª) Que en los cocientes : B/A, C/A y A/A, desaparecen los factores comunes. 

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   En todos los centros de Enseñanza Secundaria de todo el mundo, incluidos los de los de los países del tercer mundo, se debieran enseñar a los niños las siguientes verdades :

   1ª) Que si : A = B + C , siempre :

B/A + C/A =  1 = cos.²α + cos².β

   2ª) Que : 1 = cos.²α + cos².β, sólo es posible si : α + β = 90ª

   3ª) Que : α + β = 90º, impone que : √A = a, √B = b y √C = c, sean tres números, que cuantifican las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

   4ª) Que : b/a = cos.α   y  c/a = cos.β. 

   5ª) Que : a·cos.α = b  y  a·cos.β = c

   6ª) Que :  aⁿ·cosⁿ.α = b²  y  aⁿ·cosⁿ.β = cⁿ

   7ª) Que, recordándoles las verdades que aprendieron en primaria,

aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ

   8ª) Que esta ecuación se verifica con todas las ternas de números, que cuantifican las longitudes de los lados de triángulos rectángulos.

   9ª) Que  todos los enteros son raíces cuadradas de enteros.

   10ª) Que todos los cocientes de enteros son cosenos de ángulos, por lo que la ecuación :

aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ

se verifica con todas las ternas de enteros : a › b › c.

 11ª) Que :  (cos².α + cos².β) > (cos³.α + cos³.β) > ··· > (cosⁿ.α + cosⁿ.β)

12ª) Que : (cos².α + cos².β) = 1, sólo es posible si :  α + β = 90ª

13ª) Que las únicas ternas de enteros que verifican la ecuación :

aⁿ = bⁿ + cⁿ

son las de enteros pitagóricos y por tanto el índice “n” sólo puede ser el “2”

  Parece evidente que, al menos algunas de estas verdades,son ignoradas, no sólo por los alumnos, por todos los profesores de matemáticas. 

 

demostración filosófica del T. de Fermat

Demostración filosófica → Matemáticas = Filosofía

    Las matemáticas son una rama de la Filosofía, la más exacta.

   Un silogismo filosófico es un razonamiento deductivo y riguroso. El silogismo está compuesto de dos premisas y una conclusión, una premisa mayor cierta, (general), otra menor, pero no general, (cierta), cuya conclusión es una verdad cierta, ¡incuestionable!.

La premisa mayor y la premisa menor deben tener relación.
   Un teorema es la conclusión de un razonamiento deductivo y riguroso, basado  en una premisa general cierta y otra cierta, pero no general, cuya conclusión es una verdad ¡incuestionable!.

   Un teorema se reduce a tres consideraciones y debe caber en pocas líneas.

   Las premisas generales ciertas, en matemáticas, se denominan “AXIOMAS” y  las conclusiones “TEOREMAS”

   Si la premisa general es un teorema ya demostrado, la conclusión es un “COROLARIO”, o nuevo “TEOREMA”.

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   Veamos un silogismo y varios teoremas :

SILOGISMO

   Premisa general cierta :  “Todos los mamíferos tienen mamas”,

   Premisa menor cierta :“Las vacas son mamíferos”.

Conclusión incuestionable : “las vacas tienen mamas”

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1^er TEOREMA

   Premisa general cierta, axioma :

   Todos los cocientes de dos enteros, (b/a, c/a, d/a··· ), si son menores que uno, son cosenos de ángulos y senos de los complementarios.

   Premisa menor : Con  : a, b, c, d ···, enteros siempre :  

Conclusión incuestionable : a·cos.α = b, a·cos.β = c, a·cos.δ = d , ···

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2º TEOREMA

   Premisa general cierta, la conclusión anterior,  1^er teorema :

      Si : a > b > c y enteros : a·cos.α = b, a· cos.β = c.

      Premisa menor :

    Todos los números enteros son raíces de números mayores.

Conclusión incuestionable : aⁿ·cosⁿ.α = bⁿ, a· cosⁿ.β = cⁿ.

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3^er TEOREMA

   Premisa general cierta, la conclusión anterior :

aⁿ·cosⁿ.α = bⁿ, a·cosⁿ.β = cⁿ

      Premisa menor :

   Todos los números enteros se pueden sumar.

Conclusión incuestionable : aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ

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RECORDEMOOS LOS COROLARIO O TEOREMAS YA DEMOSTRADOS :

   1ª)    (cos².α+ sen².α) = (cos².β + sen².β) = 1

    2º)   Si : α + β = 90º → ( cos².α+ sen².α) = (cos².α + cos².β) = 1

   3º)  (cos².α+ cos².β) > (cos³.α + cos³.β) > ····  > (cosⁿ.α+ cosⁿ.β)

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4º TEOREMA

   Premisa general cierta :

(cos².α+ sen².α) = (cos².β + sen².β) = 1

   Premisa menor :

Si : α + β = 90º → ( cos².α+ sen².α) = (cos².α + cos².β) = 1

Conclusión incuestionable :

(cos².a+ sen².a) = (cos².b + sen².b) = 1 = (cos².a + cos².b)

sólo es posible si : a + b = 90º.

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5º TEOREMA

   Premisa general cierta :

   La ecuación :  aⁿ·(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ , se verifica con todas las ternas de enteros : a > b > c.

    Premisa menor :

(cos².α+ cos².β) > (cos³.α + cos³.β) > ····  > (cosⁿ.α+ cosⁿ.β)

   Conclusión incuestionable : (cosⁿ.α+ cosⁿ.β) < (cos².α+ cos².β)

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6º TEOREMA ( de Fermat)

   Premisa general cierta :

   La ecuación :  aⁿ = bⁿ + cⁿ  Impone que : (cosⁿ.α+ cosⁿ.β) = 1

    Premisa menor :

(cos².α + cos².β) = 1 > (cosⁿ.α+ cosⁿ.β)

   Conclusión incuestionable :

La ecuación con (a, b, c), enteros : aⁿ = bⁿ + cⁿ,  sólo es posible con el índice

 n = 2 y evidentemente con : n = 1 

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Conclusión incuestionable, si n > 2, y (a, b, c) enteros siempre  :

 aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

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   Podemos resumir todos los pasos deductivos :

 a·cos.α = b, a·cos.β = c ® aⁿ·cosⁿ.α = bⁿ, a·cosⁿ.β = cⁿ →

aⁿ_··(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ → (cos².α+ sen².α) = 1 = (cos².α + cos².β), si : α + β = 90º. → (cosⁿ.α+ cosⁿ.β) < (cosⁿ.α+ cosⁿ.β) → La ecuación con (a, b, c), enteros : aⁿ = bⁿ + cⁿ,  sólo es posible con el índice :

 n = 2  y evidentemente con : n = 1 

·························

Conclusión incuestionable, si n > 2, y (a, b, c) enteros siempre  :

 aⁿ ≠¹ bⁿ + cⁿ

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   Esta inecuación es la traducción exacta al lenguaje matemático del texto gramatical que dejo escrito Pierre Fermat

    El Teorema de Fermat, como todos los teoremas, ocupa sólo unas líneas, y es comprensible para cualquier alumno de bachillerato.

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INVARIANTES NUMÉRICOS

 

INVARIANTES NUMÉRICOS

(cos².α + sen².α) = 1:  (cos².β + sen².β) =1;  (cos².δ + sen².δ) = 1;  etc.,

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(cos.α + sen.a) + (cos.β + sen.β) + (cos.δ + sen.δ) + (cos.φ + sen.φ) > 4

 (cos².α + sen².α)+ (cos².β + sen².β)+ (cos².δ + sen².δ)+ (cos².φ + sen².φ) = 4

 (cos³.α + sen³.α)+ (cos³.β + sen³.β)+ (cos³.δ + sen³.δ)+ (cos³.φ + sen³.φ) < 4

            ""                            ""                          ""                         ""            < 4

(cosⁿ.α + senⁿ.α)+ (cosⁿ.β + senⁿ.β)+ (cosⁿ.δ + senⁿ.δ)+ (cosⁿ.φ + senⁿ.φ) < 4

     ECUACIONES POSIBLES 

(cos.α + cos.β + cos.δ + cos.φ) = 1

(sen.a + sen.β + sen.δ + sen.φ) = 1

 (cos².α + cos².β + cos².δ + cos².φ) = 2

(sen².α + sen².β + sen².δ + sen².φ) = 2

 

 (cos².α + cos².β + cos².δ + cos².90º) = 1

(sen².α + sen².β + sen².δ + sen².90º) = 2

 (cos³.α + cos³.β + cos³.δ + cos³.90º) = 1

“

“

 (cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.δ + cosⁿ.90º) = 1

······················

(cos².α + cos².β + cos².90º) = 1

(sen².α + sen².β + sen².90º) = 2

ECUACIONES IMPOSIBLES

(cos³.α + cos³.β + cos².90º) = 1

        "                     "           = 1

(cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.90º) = 1

SIEMPRE

(cos³.α + cos³.β) ≠ 1

(cosⁿ.α + cosⁿ.β) ≠ 1

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   La ecuación general que relaciona todas las potencias de números enteros, con : a > b > c > d > f, (teorema demostrado), es :

aⁿ(cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.δ + cosⁿ.φ + ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + fⁿ + ··

por tanto la que relaciona las potencias de tres enteros es :

aⁿ(cosⁿ.α + cosⁿ.β) = bⁿ + cⁿ

de donde se deduce, que como siempre, si n > 2 :

(cosⁿ.α + cosⁿ.β) ≠ 1

aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

   Se pone en evidencia que la ecuación :

aⁿ = bⁿ + cⁿ

sólo es posible si : n = 1 y n = 2.

EL GRAN MITO DEL SIGLO XX

El por qué de estos apuntes

    En el año 1994, se publicó como el gran acontecimiento, de la Historia de las Matemáticas, la supuesta y aceptada, ¡como si fuera un dogma!, demostración del conocido como “último teorema de Pierre Fermat”.

   La supuesta demostración se fundamenta en una ocurrencia de GERHARD FREY, basada en otra ocurrencia anterior, de GORO SHIMURA y YUTAKA TANIYAMA,

   La famosa ocurrencia, conocida como “conjetura S.T.W”., no es otra cosa, que una equivocada interpretación de la ecuación aritmética, con cuatro números :  “W”, “A”, “B” y “D”.

W·(W –A)·(W + B) = D = W³ + (B – A)·W² – AB·W

   Es evidente, no hace falta demostrarlo, que el producto de tres números es un número, y si los números : “W”, “A” y “B” son enteros, el número “D” también lo es.

   En esta ecuación se sustituyen los números A y B por aⁿ y bⁿ,  el “W”, por la longitud “x” y el “D” por la longitud “y²”, estableciendo la ecuación  métrica :

x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x = y²

conocida como conjetura S.T.W. de la que se afirma que si en el plano XY, no define una curva elíptica, el T. de Fermat es cierto.

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   Es evidente, para un matemático, que esta ecuación en el plano XY, sólo puede definir, como máximo, tres puntos, uno el origen de coordenadas y otros dos en la intersección de dos curvas parabólicas definidas por los puntos de coordenadas :

   UNA : y = x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x

   OTRA : x = y²

   La ecuación de la conjetura S.T.W., en el plano XY :

x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x = y²

define EXACTAMENTE, los puntos intersección de dos curvas parabólicas, tres puntos, como máximo, el origen dos en el plano XY.

    Tres puntos no son una curva, por lo que no existe curva elíptica, ni no elíptica, por otra parte la conjetura tiene menos relación con el Teorema de Fermat, que con el hecho de que los ciervos muden la cornamenta, todos los años.

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   Comparemos las dos ecuaciones anteriores, una aritmética y la otra métrica :

   Los números con los que se verifican las ecuaciones aritmética y métrica anteriores, son los mismos.

   ¿Que diferencia hay entre las dos ecuaciones anteriores?, ¡una aritmética y otra planimétrica!, en el plano XY.

   La 1ª) La aritmética expresa que  : “D” y el : “W³ + (B – A)·W² – AB·W” es el mismo número.

   La 2ª) La métrica expresa que las longitudes :

  L = “y²”   y  L₁ =  “x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x”, son las coordenadas de un punto y que son iguales y perpendiculares, por tanto estamos imponiendo que los puntos que define la ecuación, al sustituir las letras “a” y “b”, por números, se encuentren siempre,  en la bisectriz del cuadrante.

  Si en la ecuación aritmética, el número es el mismo a ambos lados del signo “= “, en la métrica la longitud  debe ser también la misma, a ambos lados del signo “ = “ , por lo que debemos encontrar puntos cuyas coordenadas sean las mismas, no iguales, pues longitudes iguales hay infinitas, pero un punto sólo tiene unas coordenadas, ya que no hay dos puntos con las mismas coordenadas; debemos buscar y encontrar, si existe, una ecuación que defina, al menos, un punto, cuyas coordenadas se cuantifiquen con los mismos números, que verifican la aritmética.

   Si pretendemos solucionar la ecuación aritmética, sustituyéndola por una ecuación métrica, con variables lineales continuas, debemos estudiarla, no en el plano, en el que sólo tenemos tres variables continuas, (x, y, r),  en el espacio, en el que tenemos cuatro variables continuas, (x, y, z, r), de las que tres varían en los ejes, (x, y, z),  y “r”, que puede variar en todas las direcciones.

   Cualquiera de las variables (x, y, z, r), puede ser función de las otras, supongamos :                          z = f(x, y), z = f(x), z = f(y)  y z = f(r).

   Las funciones : z = f(x) = “x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x” y , z = f(y) = y² se encuentran en dos planos cartesianos distintos y son la intersección de estos planos con las funciones  “z”:

z = r³ + (bⁿ – aⁿ)·r² – aⁿ·bⁿ·r   y   z = r²

   En este caso, la ecuación que nos sirve para resolver la aritmética es :  L ≡ L₁ :

  L ≡ L₁ = r² =  r³ + (bⁿ – aⁿ)·r² – aⁿ·bⁿ·r

ecuación que nos define las coordenadas de los puntos situados en dos circunferencias, (dos elipses), situadas éstas, en dos planos perpendiculares a la variable “r”, paralelos al XY.

Conclusiones 

   1ª) La ecuación : x³ + (bⁿ – aⁿ)·x² – aⁿ·bⁿ·x = y², no define ninguna curva.

   2ª) La ecuación : r³ + (bⁿ – aⁿ)·r² – aⁿ·bⁿ·r = r², define dos curvas elípticas.

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   En solamente unas líneas, hemos llegado a dos conclusiones.

   La primera, para la que Wiles necesitó más de cien folios y afirmar : ¡El teorema de Fermat es verdadero!. 

   La segunda, a la que también hubiera podido llegar Wiles, en unos minutos, y afirmar :  ¡El Teorema de Fermat es falso!. 

   Las dos conclusiones son dos sofismas, dos falacias, dos paradojas, bastante más absurdas, que la de Zenón, con la carrera de Aquiles y la tortuga.

   ¿Por qué hemos llegado a dos sofismas?, ¡Dos mentiras!

   Es muy sencillo de explicar, no hemos partido ni de un AXIOMA, ni de un TEOREMA YA DEMOSTRADO, es decir de una premisa general cierta.

   ¡Una conjetura es una ocurrencia!, casi siempre una desafortunada ocurrencia, en este caso, además, con una interpretación absurda.

CONCLUSIONES

   1ª) Wiles no pudo demostrar el T. de Fermat.

   2ª) Todo el mundo le ha creído, como si se tratara de un dogma religioso, dictado por un sumo sacerdote, pero Wiles no es un sumo sacerdote, ni las matemáticas una religión, son una ciencia deductiva, según Gaus : “la reina de la ciencias”.

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   Pretender encontrar una curva, con la ecuación S.T.W.,, en el plano XY, es como buscar liebres en cama de galgos, o pretender ir de Madrid a Lisboa por la carretera de Madrid a Valencia, y llegar a la conclusión de que como no encontraremos ni liebres, ni la ciudad de  Lisboa, no existen las liebres, ni una ciudad llamada Lisboa.

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   El hecho de que la comunidad matemática mundial haya admitido como verdad matemática, la demostración del Teorema de Fermat partiendo de una ecuación métrica, queriendo relacionarla con el T. de Fermat es una prueba evidente de que el Renacimiento no ha llegado aún a las matemáticas, que se encuentran peor que en la Edad Media.

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Estudiemos el T. de Pitágoras

   Estudiemos el T. de Pitágoras :

TEOREMA DE PITÁGORAS

   El T. de Pitágoras fue demostrado hace más de 2.500 años, teorema que, al parecer nadie ha estudiado, por lo que nadie ha deducido los diez corolarios, ¡teoremas!, que se deducen a continuación, entre los que tenemos los teoremas de Fermat y de Beal.

   Pitágoras, utilizando los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, demostró que las superficies de los tres cuadrados son tales que siempre:

S_h = S_d + S_g

       S_h =  superficie del cuadrado de lados la longitud de la hipotenusa.

                S_d = superficie del cuadrado de lados la longitud de un cateto.

                S_g = superficie del cuadrado de lados la longitud del otro cateto.

   Los lados del cuadrado son cuatro, de longitudes iguales a la hipotenusa “H” y a los catetos, “B” y”C”, por tanto :

   Si : H = L₁ = L₂ = L₃ , un cateto . D = D₁ = D₂ = D₃ y el otro cateto G = G₁ = G₂ = G₃  

   La ecuación geométrica de Pitágoras  es :

S_h = H·sen.90º·L₁ = D·sen.90º·D₁ +  G·sen.90º·G₁ = S_d + S_g

   En la ecuación aritmética de Pitágoras, ¡No hay que olvidar que en la ecuación geométrica no se puede prescindir de ningún factor!, aunque sen.90º = 1, por tanto en la aritmética, tampoco debemos prescindir y si se prescinde no olvidar que ese factor está ahí, pues no siempre es el número uno, ni el mismo número.

   Por otra parte es evidente que si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son : a, b y c, (metros, p.ejemplo) :  a·sen.a = b, y a·cos.a = c, por tanto es evidente que :

a²·sen².a = b²   y   a²·cos².a = c²

a²(sen².a + cos².a ) = b² + c²  → (sen².a + cos².a ) = 1

   Primer corolario :  Cualquiera que sea el ángulo, sen².a + cos².a  = 1

   Segundo corolario : Si A = a²·(sen².a + cos².a) = (B = b²) + (C = c²), es evidente que los lados de todos los triángulos rectángulos están cuantificados con las raíces cuadradas de tres números que verifican la ecuación : A = B + C.

   Tercer corolario : Las ecuaciones A = B + C. sin factores comunes, sólo son posibles con números enteros y decimales exactos, por tanto : √A, √ B y √C, son ternas pitagóricas, que siempre están formadas por tres números que cuantifican las longitudes de los lados de triángulos rectángulos  y pueden ser :

    a) Tres irracionales   (el mayor porcentage)  

   b) Dos irracionales y un entero   (porcentage menor que “a”)

   c)  Un irracional y dos enteros    (porcentage menor que “b”)

   d) Tres enteros   (Mínimo porcentage)

   Todas las ternas pitagóricas, (números que cuantifican los lados de triángulos rectángulos), son raíces cuadradas de enteros y si las tres raíces son enteros, esa terna se conoce como “terna de enteros pitagóriocos”, para diferenciarla de las ternas de enteros que cuantifican los lados de triangulos no rectángulos.

   Las ternas de enteros pueden ser, (a, b, c), o sus múltiplos, (m·a, m·b, m·c), pero nunca sus potencias, (a^m, b^m, c^m).

   Cuarto corolario : Si A = B + C, es evidente que todas las ternas mínimas de “enteros pitagóricos” están formadas por dos impares y uno par; uno de los impares es un número primo y a veces los dos.

   Quinto corolario : Sólo si la terna angular de un triángulo es, (90º, a, b), es posible la ecuación :

sen².a + sen².b = 1 = cos².a + cos².b = sen².a + cos².a = 1. .

   Sexto corolario : La ecuación, cosⁿ.a + cosⁿ.b = 1, sólo es posible con dos condiciones :

   1ª) Que : a + b = 90º

   2ª) Que : n = 2

   Septimo corolario :   de  a·sen.a = b, y a·cos.a = c, se deduce que :

aⁿ·senⁿ.a = bⁿ   y   aⁿ·cosⁿ.a = cⁿ

   de donde se deduce :

A = aⁿ(senⁿ.a + cosⁿ.a ) = bⁿ + cⁿ = B + C

   Es evidente que : (senⁿ.a + cosⁿ.a ) < sen².a + cos².a = 1 para todo n > 2.

de donde se deduce que la única ecuación posible :

A = aⁿ = bⁿ + cⁿ = B + C

Con (a, b, c) enteros es :

A = a²(sen².a + cos².a ) = a² = b² + c² = B + C

       Octavo corolario : si en la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ, dividimos por aⁿ, es evidente que :

bⁿ/aⁿ + cⁿ/aⁿ = 1 = sen².a + cos².a

de donde se deduce que los números, (a^n/2,  b^n/2, c^n/2) son una terna pitagórica que no puede ser de enteros, si : n > 2.

   Noveno corolario : Los números : √A = a^q·√a,   √B = b^p·√b  y  √C = c^w·√c, son tres raíces cuadradas, que pueden cuantificar longitudes, pero no pueden formar una terna pitagórica, ya que :

√b/√a = cos.a    y    √c/√a = cos.b

(√b/√a)³ = b³/a³  = cos³.a    y    (√c/√a)³ = c³/a³ = cos³.b

de donde se deduce la ecuación :

A = a³(cos³.a + cos³.b ) = b³ + c³ = B + C

cos³.a + cos³.b < cos².a + cos².b = cos².a + sen².a = 1

   Décimo Corolario :  en la ecuación : (A = aⁿ) = (B = b^m) + (C = c²), los números : √A = a^q·√a,   √B = b^p·√b  y  √C = c, con q ≥ 1 y con p ≥ 1, tenemos ternas :

(a^q·√a,  b^p·√b ,  c)    (a^q·√a,  b ,  c)    (a,  b^p·√b ,  c)

que pueden ser pitagóricas de dos irracionales y un entero o de un irracional y dos enteros, que verifican las ecuaciones, con (a, b, c) enteros :

a^2q+1 =  b^2p+1 +  c²     a^2q+1 =  b² +  c²    a² = b^2p+1 + c²

   Si : n = 2q+1 y m = 2p+1

es evidente que son posibles ecuaciones con enteros :

aⁿ = b^m + c²     aⁿ= b² + c²     a² = b^m + c²

 CONCLUSIONES

    El séptimo y octavo corolarios, (teoremas), son dos demostraciones del último teorema de Fermat.

     El décimo corolario, (teorema), es una demostración del T. de Beal.

   Ambos teoremas se demuestran tomando como base para los razonamientos deductivos y rigurosos el T. de Pitágoras, que es una premisa cierta e incuestionable.

    Como del teorema de Pitágoras, de los teoremas Fermat y de Beal, también hay más de una docena de demostraciones.

 

 

Teorema de Beal

ECUACIÓN DE BEAL

 A^x + B^y = C^z

   Para poder estudiar esta ecuación geométricamente, con las variables continuas, (x, y, z, r), es preciso partir de la aritmética :

aⁿ = b^m + c^p

que tiene las mismas soluciones que la : A^x + B^y = C^z

   Esta ecuación es imposible con tres números impares.

   Si no hay factores comunes, la ecuación impone que uno de los números, (a, b, c), sea un número par.

   Esta ecuación aritmética tiene las mismas soluciones que la geométrica :

rⁿ = x^m + y^p

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  Gráfica de la intersección de las superficies :

z = f(r) = rⁿ   (superficie de revolución)

z = x^m + y^p   (superficie, no de revolución)

en un plano paralelo al XY  y a la distancia  : z = K

 

 

   Circunferencia, (en negro), y elipse de Beal, (en rojo), en un plano : z = K, definidas en el espacio, por los sistemas de ecuaciones :

Circunferencia   z = f(r) = rⁿ   y   z= K

Elipse                z = x^m + y^p   y   z = K

 

   Los puntos P, P₁ P₂ y P₃ están definidos por el sistema formado por estas tres ecuaciones :

P(l_x = x, l_y = y, l_z = z = rⁿ)

P(l_x = x, l_y = y, l_z = z = x^m + y^p)

P(l_x = x, l_y = y, l_z = z = K)

 

   Este sistema de tres ecuaciones define exactamente los cuatro puntos, simétricos, (P, P₁ P₂ y P₃), en un plano paralelo al cartesiano XY, que son comunes a las tres superficies, por tanto es evidente que hay soluciones aritméticas de la ecuación :

aⁿ = b^m + c^p

    AHORA BIEN, CON QUE CLASE DE NÚMEROS Y CON QUE ÍNDICES.

   Estudiemos las coordenadas de los puntos “P”, que están en la circunferencia y en la elipse.

  Recordemos que las ternas de números, (a, b, c), que verifican la ecuación :

a² = b² + c²   y   r² = x² + y²  

se conocen como ternas pitagóricas, que están formadas por las raíces cuadradas de tres enteros, y cuando las tres raíces son tres enteros, forman una terna de enteros pitagóricos,

   Las distancias del punto “P”, a los planos ZX y ZY, forman con el radio de la circunferencia un triángulo rectángulo, las tres distancias están cuantificadas por una terna pitagórica, o por un múltiplo de una terna pitagórica, por tanto con una terna de raíces cuadradas de enteros en la que, al menos, uno de los números es :

(a·√a,  b·√b  o  c·√c)   o  (r·√r,  x·√x  o  y·√y)  

   Las ternas geométricas, SIN factores comunes, que verifican la ecuación :

aⁿ = b^m + c^p   y   rⁿ = x^m + y^p  

sólo pueden tener los índices : (2,3, 2), (3,2, 2).

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   Comprobémoslo con algunos ejemplos de ecuaciones, con potencias de enteros, de índices mayores de dos en la ecuación :

aⁿ = b^m + c^p

29² = 5⁴ + 6³

7³ + 13² = 2⁹

2⁴ + 4⁴ = 2⁵ = 2⁴(2 = 1 + 1)

27⁴ + 162³ = 9⁷ = 3¹²(3² = 2³ + 1)

5² = 2⁴ + 3²

3² = 2³ + 1

    Ecuaciones como estas no son difíciles de encontrar, ya que todas son :

A) Cuadrados de ternas del triángulo rectángulo, (ternas pitagóricas), de la forma  (a√a, b, c), (a, b√b, c)

 o múltiplos :  m·(a√a, b, c), m·(a, b√b, c).

  B) Ternas múltiplos de la terna de Catalán, (3, 2, 1) :

  a² = b³ + 1 → 3² = 2³ + 1⁵

     Comprobemos esto en los ejemplos anteriores.

   La 1ª es el cuadrado de la terna : (29, 25, 6√6); el cuadrado de  6√6 es un entero; es evidente que : 29² = 25² + 6³, índices (2, 2,3)

   La 2ª es el cuadrado de la terna : (16√2, 13, 7√7) los cuadrados de 16√2 y de 7√7 son dos enteros;  es evidente que : (16√2)² = 7³ + 13² ; índices (2, 3, 2) 

   La 3ª es un múltiplo del cuadrado de la terna pitagórica : (√2, 1, 1)

   La 4ª es un múltiplo de la terna, de Catalán : (3, 2, 1).

   La 5ª es el cuadrado de la terna : (5, 4, 3), conocida ya por los sumerios.

   La 6ª, la de Catalán, es el cuadrado de la terna : (3, 2√2, 1), es evidente que :

  3² = 2³ + 1² índices (2, 3, 2)

     Como se puede comprobar, todas las ecuaciones aritméticas se pueden resolver con ecuaciones geométricas, en las que al menos uno de los índices es el dos, o bien tenemos factores comunes.

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   Las ecuaciones geométricas que resuelven las aritméticas son de la forma :

f(r) = f(x) + f(y) = r² = x² + y² 

Las geométricas en sustitución de las aritméticas, que no las resuelven, en rojo :

 29² = 5⁴ + 6³ = r² = x⁴ + y³

7³ + 13² = 2⁹ = r⁹ =  x³ + y²

2⁴ + 4⁴ = 2⁵ = r⁵ = x⁴ + y⁴

27⁴ + 162³ = 9⁷ = r⁷ =  x⁴ + y³

5² = 2⁴ + 3² = r² = x⁴ + y²

3² = 2³ + 1ⁿ = r² = x³ + 1

carecen de sentido geométrico.

Recordemos que variable independiente y función son perpendiculares :

f(x)^x, f(y)^y, f(z)^z  y f(r)^r.

Por tanto  :

z = f(r ) = r²    (1)    y    z = f(r) = r⁹   (2)

son dos funciones distintas, en (1) tenemos la coordenada de un punto en una superficie de 2º grado y en (2), tenemos la coordenada de un punto en una superficie de 9º grado.

z = f(x) = x²   (3)    y    z =f(x) = x⁴   (4)

son dos funciones distintas, en (3) tenemos la coordenada de un punto en una curva de 2º grado, en el plano XZ y en (4), tenemos la coordenada de un punto en una curva 4º grado, en el plano XZ.

   Es evidente que :

z = f(r ) = r² = 29² distinto de : z = f(r) = r⁹ = 29⁹

z = f(x) = x² = 2² distinto de : z = f(x) = x⁴ = 2⁴

   Las dos únicas ecuaciones aritméticas posibles, con tres potencias de números primos son :

5² = 2⁴ + 3²

3² = 2³ + 1   

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CONCLUSIÓN

   El T. de Beal es cierto. “ Es imposible la ecuación : aⁿ = b^m + c^p, sin factores comunes, con tres enteros mayores que uno y con tres índices mayores de dos”.

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