Gonometría

GONOMETRÍA

 

   ¿Qué es la Gonometría?

   La gonometría es la ciencia que se ocupa del estudio de los ángulos. 

   Para los ángulos se vienen utilizando como símbolos, letras del alfabeto griego, y como base de numeración, la misma que utilizaban los Sumerios, la base 60 y quien sabe si no la usaron civilizaciones anteriores, en esta base el ángulo máximo en el plano es 360º.

   ¿Por qué los sumerios establecieron en 360º, los de una circunferencia?.

   Probablemente, es una opinión personal, por la razón de que el triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales y el número 60 les facilitaba el estudio de la circunferencia.

   Sin entrar a discutir si esta base es o no la mejor para su utilización en Métrica Espacial, (Espaciometría), verdadera ciencia matemática, vamos a analizar algo que nos conduce a deducir la barbaridad que supone aplicar el cálculo integral a los conceptos : seno, coseno, tangente y cotangente.

   Partamos de la siguiente verdad : “el ángulo total de una circunferencia, lo podemos dividir en 240º”, o en cualquier otro Nº de grados, pero se maneja mejor cualquier múltiplo de seis, ya que estamos familiarizados con la base 60.  

   Los seis lados del  hexágono inscrito en la circunferencia y los radios de la misma, que unen los vértices y el centro forman seis triángulos equiláteros, cuyos ángulos miden “exactamente 40º cada uno”, por tanto una altura del triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos iguales, por tanto, independientemente de los ángulos, que sumen 180º o 120º, tenemos :

(90º, 60º, 30º) : sen.30º = 1/2 , sen.60º = cos.30º = (√3)/2   y  sen.90º = 1

(60º, 40º, 20º)  : sen.20º = 1/2, sen.40º = cos.20º = (√3)/2  y sen.60 = 1

   Así mismo siempre, en general, : sen².φ + cos².φ = 1

   Invariante numérico, por tanto suma de números.

   Dice el refrán que “detrás del ronzal va un burro”.

   Es más que evidente, para cualquier individuo inteligente, alienígena o terrestre, con unos conocimientos básicos de gonometría, que “las conocidas como funciones angulares”, no dependen de los ángulos, son cocientes de longitudes; son números.

   También es más que evidente, para quien adquiera, pues, al parecer nadie los tiene, unos conocimientos básicos de la base matemática del cálculo integral,  que el cálculo integral SÓLO SE PUEDE APLICAR A FUNCIONES DE VARIABLES CONTINUAS Y CONTINUAS, por tanto como “los números no son funciones continuas no son integrables, ni derivables”.

   PROBLEMA DEL MILENIO

   ¿Quien le convence a un sumo sacerdote de esa religión a la que llaman “matemáticas modernas”, que sus dogmas no son verdades matemáticas?, ¿Qué las MATEMÁTICAS son una ciencia y no una religión?

      Se demuestran fácilmente que las llamadas matemáticas modernas están plagadas de dogmas absurdos, impuestos por teólogos, más bien chamanes, que los alumnos teníamos que creer, o fingir creer, y que los clérigos que los explican, siguen a esos chamanes, como las ovejas siguen al pastor o los burros van detrás del ronzal.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema de Fermat, demostrado por Fermat

TEOREMA DE FERMAT, DEMOSTRADO POR FERMAT

    Fermat afirmó tener una “demostración maravillosa” de la inecuación, si n > 2 :

aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

imponiendo la condición de que : “a”, “b” y “c”, sean tres números enteros, y que : (aⁿ, bⁿ y cⁿ), sean también tres enteros.

   Se trata por tanto de encontrar la forma de comprobar si es posible, o no, la existencia de una ecuación con las tres potencias n-simas : aⁿ = bⁿ + cⁿ, ya que con tres enteros, (a, b, c), y con, (a², b², c²), hay infinitas posibilidades.

   Fermat era un hombre muy inteligente, por tanto no tenía necesidad de mentir, por otra parte era normal en él, retar a sus contemporáneos proponiéndoles problemas que tenía resueltos, para ver si eran capaces de encontrar su solución, lo  que les “encabronaba” bastante. Descartes, filósofo y matemático, le calificaba de “jactancioso” y el inglés John Wallis se refirió a él llamándole “ese condenado francés”.

   La ecuación de Fermat con tres potencias es : aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ

ecuación que se verifica con todos los enteros, que queramos imponer.

   ¿De donde proviene esta ecuación?

   Cualquier ser inteligente, con unos conocimientos básicos de aritmética, debiera saber que es una inecuación y que es una ecuación; así como las condiciones que impone una ecuación a los números, con los que se pretenda formarla. 

   Las condiciones que impuso Fermat, en el enunciado de su teorema, son dos :

   1ª) Que : “a”, “b” y “c” sean enteros.

   2ª) Que : n > 2

    ¿Cual es su demostración? y ¿por qué nadie la ha encontrado?

Sencillamente, todo el mundo ha dado por supuesto que no la tenía.

   ¿Por qué nadie reparo en esta ecuación? : aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ

   ecuación que si conocía Fermat y que le permitió afirmar que no existe la ecuación, con enteros y n > 2 : aⁿ = bⁿ + cⁿ, por lo que siempre : aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

   La deducción es muy fácil, simple y evidente :

b/a = p,   c/a = q,   bⁿ/aⁿ = pⁿ  y   cⁿ/aⁿ = qⁿ

aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ

  Para poder establecer una ecuación con las potencias de tres enteros, la ecuación impone dos potencias más, condiciones que no le pasaron por alto a Fermat, pero si a todos los que han intentado encontrar su demostración.

   Si fuera posible la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ, el T. de Fermat sería falso, pero si es imposible la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ, el T. de Fermat es verdadero, por tanto para que sea posible : aⁿ = bⁿ + cⁿ, es evidente que tiene que ser posible : pⁿ + qⁿ = 1.

   Tenemos una definición maravillosa del número uno, para comprobar esta posibilidad

sen².β + cos².β = 1 = pⁿ + qⁿ

   Es evidente que tenemos una ecuación que iguala las superficies de tres cuadrados, de lados los de un triángulo rectángulo :

Hipotenusa = a^n/2 unidades de longitud

Un cateto = b^n/2 unidades de longitud

El otro cateto = c^n/2 unidades de longitud

   Debiera ser evidente, para cualquier persona inteligente, que haya aprendido el T. de Pitágoras, que los números (a^n/2, b^n/2, c^n/2), no pueden formar una terna de enteros pitagóricos, si : n > 2, por tanto siempre, con “a”, “b” y “c” enteros : 

aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

 ¿Tenía, o no, Fermat la demostración?.

Teorema de Fermat para Beal

      El texto que Fermat dejó escrito en el margen de “Las Aritméticas”, de Diofanto es : “No es posible descomponer un cubo en suma de dos cubos, una cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias ni, en general, ninguna potencia de exponente mayor que dos, en dos potencias del mismo exponente”; “he conseguido una maravillosa demostración”, “la estrechez de este margen no puede contenerla”.

     El enunciado del teorema y la afirmación de la existencia de una “demostración maravillosa”, que dijo tener Fermat, me indujeron a pensar que si Fermat era un hombre inteligente, no estaba equivocado, por tanto esa demostración existe y se podía encontrar.

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   La traducción de este texto al lenguaje matemático, con seis números enteros, es :

a ≠ b + c    y   aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ

sin embargo, la ecuación que todo el mundo utiliza es :  aⁿ = bⁿ + cⁿ, también con los mismos seis números, distinta de las inecuaciones anteriores.

      La ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ, me recordó el cuento de Hans Chistian : “El Rey Desnudo”.

   Se preguntarán ¿por qué?.

   Sencillamente : yo no tengo que adular a ningún profesor de matemáticas y :

 ¡Es imposible la terna de enteros pitagóricos : (a^n/2, b^n/2, c^n/2)!, con n > 2.

terna que deja desnudos a todos los matemáticos, bueno, más exatamente, a todos los profesores de matemáticas y a todos los alumnos que les creen y les siguen como las ovejas a los pastores.

   ¿Será esta la maravillosa demostración que tenía Fermat?

   Demostración más corta y evidente, por tanto maravillosa, es difícil encontrar, frente a más de 10 años de sesudo trabajo y más de 100 folios, que dedicó Wiles para no demostrar nada, como se puede comprobar fácilmente.

   Es evidente, (para un matemático, al que se le supone un coeficiente intelectual y una preparación, “al menos en matemáticas”, superior al común de los mortales), que es imposible la terna de enteros, ( a^n/2, b^n/2, c^n/2),  con esta sola terna es suficiente, para ver que la afirmación de Fermat es verdad.

   Esta ecuación impone que las tres raíces cuadradas de los números, (aⁿ, bⁿ, cⁿ), sean las unidades de longitud, (udl), de los lados de un triángulo rectángulo y como : a^n/2, b^n/2,y c^n/2, (siendo n/2 ≠ 1, o lo que es igual n > 2), no pueden ser una terna de enteros pitagóricos, tenemos la certeza de que al menos uno de los tres números : “a”, “b” o “c” es irracional.

        Supongo que para un alumno de matemáticas, de Enseñanza Media, le será suficiente con lo que se explica a continuación :

   Estudiemos las relaciones de los lados de los triángulos, en cualquier sistema métrico, siendo (udl) las unidades de longitud, por tanto números.

      Las ecuaciones que se verifican siempre, con las unidades de longitud, (udl), (por tanto con números), de los lados de todos los triángulos son :

A² = b^2m + c^2m + 2·b^m·c^m·cos.90º

A² = b^2m + c^2m + 2·b^m·c^m·cos.φ

A² = b^2m + c ^2m - 2·b^m·c^m·cos.φ₁

    Los números A², b^2m, c^2m , 2·b^m·c^m·cos.φ y  2·b^m·c^m·cos.φ₁ son las (uds), unidades de superficie, de once cuadrados; tres de superficies : s = b^2m,  tres de superficies S = c^2m, y cinco de superficies diferentes. 

   La única ecuación posible con tres números, potencias m-simas, es la que se verifica con las (udl) de longitud de los lados del triángulo rectángulo, por tanto la ecuación :

aⁿ = a^2m = bⁿ + cⁿ

impone, siempre, sin una sola excepción, que los números (a^n/2, b^n/2, c^n/2), sean las (udl) de los lados de un triángulo rectángulo y si : n ≠ 2, cualquier alumno o profesor de matemáticas, medianamente inteligentes, debieran saber que las ternas de enteros pitagóricos : (a^n/2, b^n/2, c^n/2), son imposibles.

   Conclusiones decepcionantes :

    “Al menos, desde que murió Fermat, no ha habido una sola persona a la que se la pueda calificar de matemático”

   La asignatura de matemáticas está encomendada a personas que no conocen ni el T. de Pitágoras. Un teorema es una verdad matemática incuestionable; este teorema se demostró hace 3.000 años, ¿cómo se puede ser profesor de matemáticas sin conocer este teorema?

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La conjetura de Beal

    El texto de su enunciado es : “Si A^x + B^y = C^z, donde A, B, C, x, y, z, son enteros positivos, siendo x, y, z > 2, entonces A, B, y C deben tener un factor común primo.

  Si el texto está bien traducido del inglés al castellano, la ecuación anterior se puede expresar :

f·(a^x + b^y) = f·c^z

   Si en esta ecuación dividimos por “f”, nos queda la ecuación :

 a^x + b^y = ·c^z

   Lo que se deduce del texto es que esta ecuación, sin un factor común, es imposible siendo las tres bases y los tres índices enteros y mayores que dos. 

  Antes de comenzar con el análisis de la ecuación, me voy a permitir cambiar las notaciones de los superíndices, ya que esas tres letras debieran reservarse, exclusivamente,  para las variables longitudinales, continuas, en los ejes cartesianos, por lo que la ecuación queda :

aⁿ + b^m = c^j

En esta ecuación como en el caso del T de Fermat, tenemos que : a^n/2, b^m/2 y c^j/2, no pueden ser una terna de enteros pitagóricos y los mismos razonamientos anteriores sirven también para esta conjetura, que al ser demostrada se comvierte en teorema.

CONCLUSIÓN

   Las dos, antes de su demostración, conjeturas, eetán demostradas y pasan de ser simples conjeturas, a ser dos teoremas incuestionables. 

   

 

ARITMÉTICA

ARITMÉTICA

 

   Definición de Aritmética :“Disciplina de las matemáticas que estudia las propiedades de los números y las operaciones que con ellos pueden realizarse”.

   Definición de Número : “cada uno de los entes abstractos, (inmateriales e invisibles), con los que se pueden cuantificar elementos de cualquier concepto”; un número es la respuesta concreta y exacta a la pregunta : ¿cuánto o cuantos?, por ejemplo : ¿ cuantos dedos hay en una mano normal?, la respuesta es cinco dedos, (5 dedos); ¿cuánto mide la diagonal de un cuadrado de un metro de lado?, la respuesta concreta y exacta es : “raíz cuadrada de dos metros”, que se pueden expresar con los símbolos del número dos (2) y con el de la raíz (√), ²√2 o bien en forma exponencial : ²√2 = 2^1/2, otro ejemplo : ¿Cuánto mide el lado de un cubo de dos metros cúbicos?, la respuesta es : “raíz cúbica de dos” que se puede expresar : ³√2 = 2^1/3 .   

   El número es un concepto abstracto, ilimitado y discontinuo, por tanto podemos afirmar que por muchos que sean los elementos de un conjunto discontinuo, siempre tenemos un número entero para cuantificarlos, pero no ocurre lo mismo con los conceptos continuos, pues aunque elegida una unidad de cualquier concepto continuo, a cada número le corresponde, (cuantifica), un ente de ese concepto, por ejemplo : elegido el metro como unidad de longitud, siempre tendremos : cinco metros, (5 m), sesenta metros, (60 m), etc, no a todas las longitudes las podemos cuantificar con números, por ejemplo la longitud de una circunferencia de 1 m de radio, no la podemos expresar con un número, no tenemos números para todas las longitudes, ¡sólo podemos utilizar un número en base diez, o en otra base, aproximado! : l = 2·p » 2·3,14 m, l = 2·p » 2·3,141, l = 2·p » 2·3,1419 m, (longitudes inferiores a la real), o l = 2·p » 2·3.15 m, l = 2·p » 2·3.142 m, l = 2·p » 2·3.1416 m, etc, (longitudes superiores a la real).    

   ¿Que operaciones podemos realizar con los números?

   En primer lugar vamos a aclarar la diferencia, que es fundamental, entre los conceptos “número”, “un número” y los “símbolos” con los que representamos a los “números”; el concepto “número” incluye a todos los números, (como el concepto “naranja” incluye a todas las naranjas), pero “un número” es un elemento, (inmaterial), del concepto “número”, una naranja es un elemento, (material), del concepto “naranja” y un “símbolo” es un volumen de tiza, tinta, grafito, etc., (elementos materiales).

    Aclaremos esta diferencia con algún ejemplo, utilizando los conceptos “número” y “naranja”; y  “los números” y sus “símbolos” en base diez.

    Es evidente que el número tres, cuyo símbolo es 3, y el número cinco, cuyo símbolo es 5, son dos números, por tanto es evidente que el número tres, (3), más el número cinco, (5), son dos números, pero también es evidente que “tres números” más “cinco números” son “ocho números”, como “tres naranjas” más “cinco naranjas” son “ocho naranjas”, aunque ninguno de los “ocho números” sea ni el “tres” ni el “cinco”:

una naranja + otra naranja = 2 naranjas

el número 3 ( un número) + el número 5 ( otro número) = 2 números.

3 naranjas + 5 naranjas = 8 naranjas

3 números + 5 números = 8 números

   Es evidente que sólo hay un número “tres”, por tanto el número “tres” más el número “tres” carece de sentido ya el “tres” es un solo número, pero :

3 números + 3 números = 6 números,

3 naranjas + 3 naranjas = 6 naranjas

    ¿Podemos hacer lo mismo con la multiplicación?

   El número “tres” multiplicado por el número “tres” es el número “nueve” y el “tres” por el “cinco“ es el número “quince” :

el número 3 * el número 3 = número 9:;    3* 5 = 15

una naranja * otra naranja = concepto absurdo (no existe)

3 naranjas* 3 naranjas = ¿9 naranjas cuadradas? (absurdo)

3 números* 3 números = ¿9 números cuadrados? (absurdo)

   Ni las naranjas ni los números son cuadrados, pero .

3 naranjas * 3 = 9 naranjas (se multiplica el “número”, no las naranjas)

3 números * 3 = 9 números, pero tres (3) * tres (3) = 9

   Conclusión que se deduce de estos razonamientos : Sólo se puede multiplicar por si mismo, y por otros elementos del mismo concepto, el elemento número, siendo el resultado de la multiplicación un número, por tanto un elemento del mismo concepto.

   Tenemos dos clases de números :

   1ºa) Los que, elegida una base de numeración, se pueden representar, (escribir), con los símbolos de la base; en base diez, los enteros y decimales exactos; éstos se convierten en enteros multiplicándolos por la base o por una potencia de la base.

   1ºb) Los cocientes de enteros en los que el denominador es un número primo, (excepto el dos), o producto de números primos, (incluido el dos, conocidos como quebrados), p-ej., 10/13 = p, 3/13 = q, “p” y “q” no tienen escritura en base diez pero : 10/13 + 3/13 = 13/13 = 1 y 10/13*3/13 = 30/169.  .

   2º) Los que no se pueden representar con los símbolos de la base, como las raíces, no enteras y sus múltiplos, para los que además de los símbolos de la base se utiliza el símbolo : ⁿ√ , o ( )^1/n p.ej., ²√2  = (2)^1/2,  ³√2 = (2)^1/3.

Propiedades de los números :

   Con todos los del grupo 1º) se pueden hacer operaciones de suma, resta, multiplicación y división, el resultado de estas operaciones es siempre un número, tenga o no, escritura en base diez.

   Con los del grupo 2º), las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir son limitadas; cuando son posibles, el resultado es siempre un número.

   ¿Para que sirven?

   Los enteros del grupo 1ºa) sirven para cuantificar los elementos de conceptos discontinuos, p.ej. el número de neutrones de la masa, o materia, que hay en la tierra, es un número entero; además para cuantificar algunas, (no todas), longitudes, superficies, volúmenes y ángulos.

   Algunos de los del grupo 2º) sirven para cuantificar conceptos continuos y  como factores  pueden multiplicar  longitudes, superficies y volúmenes; p-ej. L = √2 metros, S = 5√11 metros cuadrados, V = 7√3 metros cúbicos.

 

   Los que tenemos ciertas inquietudes y nos interesan las matemáticas, comprobamos que en esta disciplina hay una gran anarquía, en cuanto a la forma de expresar los distintos conceptos, pues carecemos de un lenguaje universal, necesario para que cualquiera pueda conocer el significado de los símbolos que se utilizan.

   Es evidente que cualquier persona que tenga unos conocimientos mínimos de física y química sabe que la fórmula del agua es “H₂O” y el símbolo del hierro “Fe”, y que todos y cada uno de los “elementos” se identifican con un símbolo que es el mismo en todo el mundo.

   En matemáticas está todo el mundo de acuerdo en los símbolos de los números en base diez, pero cuando se trata de números desconocidos se suelen utilizar los de las letras “x”, “y”, “z”, a, b, c, etc; las mismas letras “x”, “y”, “z”, se utilizan para identificar las variables longitudinales continuas en los ejes cartesianos, lo que, al menos a mi, con mi corta inteligencia, no me resulta congruente, en la ciencia, según Gaus, reina de las ciencias, por lo que yo personalmente reservo las letras : “x”, “y”, “z”  para identificar las variables continuas y unidireccionales en los ejes cartesianos y “r” para la variable longitudinal, continua, en cualquier dirección, en el espacio, incluidos los ejes y planos cartesianos; para las superficies la letra “s” y para los volúmenes la letra “v”; para los números desconocidos las primeras letras del alfabeto latino y si se precisaran muchas, las primeras con subíndices,”a₁”, “a₂”, “b₁”, etc; para los ángulos letras del alfabeto griego; para las sumas de números, (concepto discontinuo), el símbolo “S” y para las sumas de longitudes, superficies y volúmenes, (conceptos continuos), el símbolo “∑”; por supuesto para los adverbios de cantidad : “más”  “+” y “menos”  “- “, para la preposición “por” : “*”, o (·), para el verbo “dividir”, “dividido”, “:” o “/” y para el adverbio “igual” “=” .       

 

Estudiemos ahora las ecuaciones aritméticas.

   Para establecer una ecuación aritmética se necesitan, al menos, tres números, dos elegidos al azar, o impuestos por nosotros, y uno que le impone la ecuación; si imponemos tres, dos los impone la ecuación, etc, analicemos las posibilidades de establecer ecuaciones con los números en el siguiente experimento : 

   Metamos en un bombo 25 bolas en las que hemos grabado los símbolos : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,√2,√3,√5,√6,√7,√8,√10,³√2,³√3,³√4,³√5,³√6,³√7,³√9,³√10

   Si hacemos extracciones de tres bolas, lo más probable es que saquemos símbolos de enteros y símbolos de raíces en cada terna, pero es posible sacar tres símbolos de enteros en una y de tres raíces en otra.

   Vamos a suponer que en la primera terna sacamos los números : (7,4,3), es un caso en el que 7 = 4 + 3, ecuación con sólo tres números, si se vuelven a meter en el bombo, todavía podemos sacar, aunque sea poco probable (9,5,4); 9 = 5 + 4, (8,6,2),  8 = 6 + 2, etc.

   Si sacamos en la primera terna (√3,³√5,³√9), sólo podemos establecer ecuaciones de la forma : √3/⁵√9 = p; ³√5/³√9 = q,√3/³√5 = p₁, etc, y de la forma :

³√9(p + q) = √3 + ³√5 (cinco números)

   Si hubiéramos sacado en la primera terna : (10,7,5), 7 + 5 = 10 + 2, ecuación con cuatro números, con (9, 6, 1);  9 = 6 + 1 + 2, etc.

   Si sacamos en una terna : 7, 3, √2, no podemos establecer una ecuación ni con tres, ni con cuatro, números, pero si con cinco : 3/7 = p, √2/7 = q; 7·(p + q) = 3 + √2.

   Pero la ecuación : 7 = 4 + 3, si la podemos expresar con cinco, 7·p₁ = 4, 7·q₁ = 3  : 7(p₁ + q₁) = 4 + 3, pero como (p₁ + q₁) = 1  no aparecen en la ecuación.

  La ecuación  9 = 6 + 1 + 2, también la podemos expresar con cinco : 9(p₂ + q₂) = 6 + 1

   CONCLUSIÓN

   Siempre que elijamos tres números podemos establecer una ecuación con dos más, esto es evidente, por muy pocos conocimientos de matemáticas que se tengan.

   En la inecuación : a ¹ b + c, con (a,b,c) enteros, lo inteligente es establecer una ecuación con cinco números, ya que así estudiamos todas las posibilidades.

a·p = b,  a·q = c, a(p + q) = b + c;      aⁿ·pⁿ = bⁿ , aⁿ·qⁿ = cⁿ ;   aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ

  Analicemos estas dos ecuaciones : aⁿ(pⁿ + qⁿ) = bⁿ + cⁿ (1)

            aⁿ = bⁿ + cⁿ              (2)

   La (1) se verifica con todos los valores enteros (a,b,c), que queramos elegir, p y q los impone la ecuación, “n” no depende de ninguno de los números ; a, b, c. p, q.

   La (2) sólo es posible si se cumplen estas condiciones :

  1^a) Que : (pⁿ + qⁿ) = 1, esta condición impone las dos siguientes .

  2ª) Que  a > b,  a > c.

  3ª) Que : a < b + c.

para comprobar si (a, b, c) pueden ser tres enteros, basta con comprobar si es posible :  (pⁿ + qⁿ) = 1

   Cualquier estudiante universitario debiera saber que : p = cos.α y q = cos.β, por tanto :

(pⁿ + qⁿ) = cosⁿ.α + cosⁿ.β = 1 = cos².α + sen².α = sen².β + cos².β = cos².α + cos².β

pero esta ecuación “unigonométrica”, con un solo ángulo (α, o β) o “bigonométrica”, con dos ángulos, (α y β) sólo es posible si :  (α + β = 90º) y n = 2;  por tanto es imposible si n > 2.

   Supongo que a ningún profesor de matemáticas se le escapa que esta deducción es una demostración del mundialmente conocido como “último teorema de Fermat”.

   Espero que esta demostración “a-rit-mé-ti-ca”, que nada tiene que la relacione con el disparate de la conjetura S.T.W., no requiera de “técnicas especiales”, ideadas por Wiles; las matemáticas no son una ciencia “técnica”, aunque las ciencias, sobre todo las técnicas, como son las ingenierías, si precisan de las matemáticas. 

 

   Es evidente que los adverbios no son números, por tanto no se pueden multiplicar ni por si mismos ni por otros adverbios, por tanto no es verdad que “más”*”más” = “más”,  que “menos”*”menos” = “más”, ni que “más”*”menos” = “menos”, estas multiplicaciones son absurdas, pero se explican en clase como si fueran AXIOMAS matemáticos.

   ¿De donde procede esta FALACIA?

   ¡Esta FALACIA procede de una regla nemotécnica!

        Muchas veces me he preguntado : ¿Cómo es posible que se pueda confundir una REGLA NEMOTÉCNICA con un AXIOMA?.

   Espero que ningún estudiante de Física, y menos un profesor, confunda una regla nemotécnica con una verdad; como la regla nemotécnica que para recordar las distintas unidades en electrotecnia, usábamos los estudiantes : “ Don Amperio y Don Faradio se fueron a dar un Voltio, se encontraron con Don Julio,  visitaron a Don Ohmio le metieron en un Watio y le azotaron el Culombio”; espero que nadie que se encuentre en la calle con una persona de nombre Julio, piense se ha encontrado con una unidad de trabajo o energía eléctrica.

   Desconozco quien fue la persona que se percató que los signos que deben preceder a los términos del producto de dos, o más, polinomios con números precedidos de los signos : “+” y “-”, (adverbios de cantidad), son muy fáciles de colocar sin equivocarse, si se tiene en cuenta esta regla : “a los precedidos : del signo + si se multiplican por precedidos del signo “+” se les pone el signo “+”, del signo “+” si se multiplican por precedidos del “-” se les pone “-”, del signo “-” si se les multiplica por precedidos del “-” se les pone “+” ; no es ni parecido el significado del adverbio  “IGUAL”, que expresamos con el signo “ = ”, al de la oración gramatical “SE LES PONE El SIGNO”, ( o se les coloca el signo).

   Abreviadamente se dice : + por + = +; — por — = +  y + por — = —.

   Debiera ser evidente que esto es una regla para no equivocarse con los signos, pero no son multiplicaciones de los adverbios de cantidad.

 

   De cualquier manera que se analicen los teoremas de Pitágoras y de Fermat, ambos son dos casos singulares del T. de Marcelo, que al parecer nadie conoce, por lo que se expone a continuación :

El T. de MARCELO demuestra que en la ecuación :

aⁿ ( pⁿ + qⁿ + jⁿ ) = bⁿ + cⁿ + dⁿ

es posible : pⁿ + qⁿ + jⁿ = 1, con “n”, “a”, “b”, “c” y “d” enteros.

   La ecuación general de Marcelo, que se verifica siempre, con números, tengan o no escritura decimal, siendo : a·p = b, a·q = c, a·j = d, etc, es :  

a·(p + q + j + t + ··· ) = b + c + d + f + ·····

y con todas las potencias : aⁿ·(pⁿ + qⁿ + jⁿ + tⁿ + ···) = bⁿ + cⁿ + dⁿ + f ⁿ + ···

   Si imponemos que a > b > c > d > e > ···  etc, es evidente que : pⁿ <<1, qⁿ << 1, etc, por tanto siempre : pⁿ + qⁿ + jⁿ + tⁿ  < 4 y pⁿ + qⁿ + jⁿ < 3; por otra parte es evidente que : p = cos.α, q = cos.β y j = cos.φ. 

   “TODOS LOS NÚMEROS ENTEROS PUEDEN FORMAR PARTE DE UN CUARTETO QUE VERIFICA LA ECUACIÓN DE MARCELO”, ecuación con 7 variables, más el índice “n”; podemos tomar enteros ( a, b, c, d ) , a > b , a > c, a > d;  siempre existe un número “w” del grupo “1ºb” que la verifica :

0 < w = (cosⁿ.α + cosⁿ.β + cosⁿ.φ) < 3   (3)

 Es evidente que el único valor de “w”, posible para que w·aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ siendo entero  (bⁿ + cⁿ + dⁿ)^1/n = a·w^1/n ,  es w = 1.   

   En la ecuación (3) tenemos cuatro variables, más la “n”, (w, α, β, φ), “w” es función de tres variables; si fijamos w = 1, es evidente que : 

   1º) Al ser enteros “a”, “b”, “c” y “d” es seguro que :  cos.α, cos.β y  cos.φ  son, los tres, números del grupo “1ºb” y es posible la solución w = 1

   2º) Que “n” también es entero, (las bases se multiplican por si mismas, un número entero de veces), pues w = 1 es incompatible con todos los índices no enteros, ya que es imposible que la suma de “números no decimales” (raíces sin escritura decimal) sea un número entero, podemos conseguir aproximaciones, pero no un número entero.

   El número de cosenos que son cocientes de enteros y el de índices “n” enteros es ilimitado y su suma un número del grupo B y w = 1 es una solución, por tanto no se  puede afirmar que “no es posible la ecuación” :

aⁿ = bⁿ + cⁿ + dⁿ

con “a”, “b”. “c” y “d” enteros, para algunos valores de n > 1 y entero.

   Hay otras demostraciones que no se exponen aquí.

   Lo más importante no es saber si hay o no soluciones, pues ya se conocen algunas, p.e : 6³ = 5³ + 4³ + 3³, (en esta ecuación es fácil comprobar que cos³.a + cos³.b + cos³.j = (5/6)³ + (4/6)³ + (3/6)³ = 1 y es evidente que existen cuatro esferas de radios : r = 6 unidades de longitud, 5 (udl), 4 (udl) y 3 (udl) y V₆ = V₅ +  V₄ + V₃); Es evidente que un cubo si se puede descomponer en tres cubos, por eso es posible encontrar :

a³ = b³ + c³ + 1³

cuando se buscan soluciones de :   a³ = b³ + c³ con enteros.

 

 

 

 

buscando a un matemático

BUSCANDO A UN MATEMÁTICO

    Apostolos Doxiadis, en su libro “El tío Petros y la conjetura de Goldbach, pone en boca del tío Petros la siguiente frase : “Mathematicus nascitur, non fit”, página 34.

   Si es cierto que el “matemático nace, no se hace”, me parece que si además estudia  Matemáticas, forzosamente tiene que saber que para establescer una ecuación aritmética se necesitan, al menos, tres números; tenemos dos tipos de ecuaciones  con tres números :

  Con números en la base de numeración p.ej. : 7,32 + 4,27 = 11,59

b + c = a (1)

   Con todos los números : b/a = p , c/a = q, etc., incluídos los irracionales,  sin escritura en la base p-ej., √7 + ³√5 = ¿?,  pero   ³√5/√7 = p.

^m√b + ⁿ√c = ¿?  (2)

Si en la ecuación (1) : b = 4 y c = 3, “a”, sólo puede ser el número siete; ¡no hay más números!.

   En el ejemplo de 7 = 4 + 3, es evidente que 7² = 4² + 3² + 2·4·3 = 16 + 9 + 24, ecuación con cuatro números, en 7ⁿ = (4 + 3 )ⁿ = 4ⁿ + polinomio + 3ⁿ, la ecuación tiene n + 2  números, ¿es posible encontrar ecuaciones en las que el polinomio sea CERO?.

   Es evidente que para que el polinomio sea cero el número :  bⁿ + cⁿ = dⁿ < aⁿ

   EN ESTA ECUACIÓN, SEA, O NO, “d” entero, es evidente que :

a > d > b, d > c y d < b +c = a

por tanto (d, b, c) son tres números que son las unidades de longitud,(udl), de los lados de un triángulo y la ecuación que relaciona las (udl) de los lados de todos los triángulos es :               d² = b² + c² ± 2·b·c·cos.α

ecuación con cuatro números, en la que “α” es el ángulo opuesto al lado más largo; para que sea posible : d² = b² + c²  es necesario que : α = 90º.

a³ = b³ + 3b²c + 3bc² + c³

   Para que sea posible : b³ + c³ = f³  es preciso encontrar un número, “f”, que sea menor que “a”, pero mayor que “b” y que “c”, por tanto la terna (f, b, c,) son tres números (udl), de los lados de un triángulo y por tanto f² = b² + c² + 2b·c·cos.β.

   Es evidente que si : f < d,  el ángulo “β” tiene que ser menor que el “α”,  β < α, por tanto si en : d² = b² + c² ± 2·b·c·cos.a, a = 90º,   en : f² = b² + c² + 2b·c·cos.β,  "β" no puede ser de 90º y viceversa.

   En la ecuación : a³ = b³ + 3b²c + 3bc² + c³

también √a³ > √b³ y √a³ > √c³ son tres números, por tanto tenemos que buscar un número “√f³ < √a³”,  estos tres números, (√f³ > √b³ y √f³ > √c³ ), son las (udl) de los lados de un triángulo y por tanto se verifica la ecuación :

f³ = b³ + c³ + 2√b^3/2·√c^3/2· cos.δ   y  δ < β < α

y en general : bⁿ + cⁿ + polinomio = aⁿ , por tanto tenemos que buscar un número menor que aⁿ, para que pueda ser : wⁿ = bⁿ + cⁿ

   Es evidente que, si m < n, todos los números : w^m, b^m y c^m son las (udl) de los lados de un triángulo y por tanto se verifica la ecuación :

w^2m = b^2m + c^2m ± 2b^mc^mcos.φ

y para que sea posible : w^2m = b^2m + c^2m , es evidente que tiene que ser φ = 90º.

   La ecuación : w^2m = b^2m + c^2m, impone que : w^2m, b^2m y c^2m, sean las unidades de superficie, (uds), de tres cuadrados y w^m, b^m y c^m las (udl) de la hipotenusa de los catetos de un triángulo rectángulo y la terna de números, (w^m, b^m, c^m) tendría que ser una terna de enteros pitagóricos, lo que es imposible, por tanto si :

b^m + c^m, son dos enteros “w” es la raíz cuadrada de un entero, pero un número irracional. 

CONCLUSIONES :

   1ª) Las ecuaciones : w^2m = b^2m + c^2m  con las ternas (w, b, c) de números enteros sólo son posibles con  “ m = 1”, por tanto con índice dos.

   2ª) Todas las potencias de índice entero, superior a dos, pueden ser las (udl) de uno, o dos, de los lados de un triángulo rectángulo, pero nunca de los tres.   

   3ª) Las raíces cuadradas de todos los enteros son las (udl) de los lados de triángulos rectángulos y son imposibles los triángulos rectángulos con longitudes cuyas (udl) sean  raíces de índice “n” superior a “2”. 

   4ª) Cualquiera que sean los tres números : A = B + C, siempre son las (uds) de tres cuadrados y los números :     a = √A, b = √B y c = √C, son las (udl) de los lados de un triángulo rectángulo.   

buscando a un matemático

   Apostolos Doxiadis, en su libro “El tío Petros y la conjetura de Goldbach, pone en boca del tío Petros la siguiente frase : “Mathematicus nascitur, non fit”, página 34.

   Si es cierto que el “matemático nace, no se hace”, me parece que si además estudia  Matemáticas, forzosamente tiene que saber que cualesquiera que sean tres números : “a”, “b” y “c”, si se verifica la ecuación :

a = b + c (1)

en un sistema de ejes y planos cartesianos siempre, sin una sola excepción “a”, “b”, y “c” son las coordenadas de un punto y sólo uno, en el espacio :    

l_x = b, l_y = c y l_z = a

y en la ecuación : 

aⁿ = bⁿ + c^{n (2)}

las coordenadas “l_x” y “l_y” son las MISMAS, la “l_z” varía y no puede ser una potencia de “a”, lo es de otro número l_z= dⁿ :

l_x = bⁿ, l_y = cⁿ y l_z = dⁿ

   Como la distancia al origen es LA MISMA, (d), en las dos ecuaciones :

(l_x² + l_y²)^1/2 = d ‹ a

es evidente que la ecuación a resolver es :

(l_x² + l_y²)^n/2 = dⁿ = l_xⁿ + l_yⁿ

ecuación  que sólo es posible con los MISMOS NÚMEROS si  n = 2.

Por tanto la ecuación : aⁿ = bⁿ + cⁿ (2), si tiene soluciones con enteros y  n > 1, y sabemos que los tiene, sólo son posibles con n = 2; esto es lo que afirmó Fermat.

 

Evidentemente en (1) si “b” y “c” son enteros, “a” también lo es.

 

Chequeo a las matemáticas

CHEQUEO A LAS MATEMÁTICAS

Mini chequeo a los números

   Antes de comenzar con el chequeo a los números, vamos a definir el concepto “número”, a clasificarlos según sus características y a ver como se los representa con los  símbolos” y “signos” que se utilizan en la actualidad. 

   El concepto “número” es un concepto, inmaterial, discontinuo, a partir de cero ilimitado; es un concepto natural, descubierto por el hombre, no inventado; para su utilización precisamos de una base, la adoptada actualmente es la base diez.

   A los números naturales, a los no inventados, los podemos clasificar en tres grupos :

   1º) Los números exactos, que se dividen en dos subgrupos :

      1ºa) Los enteros, que hasta diez, se representan con los símbolos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10; y los mayores de diez, combinando los símbolos anteriores, p. ej., el cuatrocientos diez y siete,  combinando los símbolos (4), (1) y (7) y en ese orden : 417.

      1ºb) Los decimales exactos, como el : 3,417 para el que se necesita un “signo”, en este caso el de la coma, pero se pueden trasformar en un entero si se multiplican por una potencia de la base, en este ejemplo, por 1000,    3,417· 1000 = 3417.

   2º) Los cocientes de números exactos, pero que no son decimales exactos, p.ej., 3/7; este número no podemos expresarlo utilizando los símbolos de los números, con la ayuda de la coma, ni con otro signo. 

   3º) Los que son raíces de los anteriores, pero que no están en base diez, que se expresan con la ayuda del símbolo : “ⁿ√ ” , p.ej., raíz cúbica de trece : ³√13.

   Con los enteros y decimales exactos siempre se pueden hacer sumas y multiplicaciones y siempre el resultado es un número exacto.

   Con los cocientes de enteros siempre es posible hacer sumas y multiplicaciones, y "algunos resultados" pueden ser números exactos; p.ej., 3/7 + 4/7 = 1.

   Con los números “no decimales”, que son raíces de números en base diez, sólo se pueden hacer multiplicaciones, por si mismos y por otros números.    

   Características comunes a los cuatro grupos es que todos se pueden multiplicar y son potencias y raíces de otros números, excepto el uno que es potencia y raíz de si mismo.

   Decía el profesor Arango que en matemáticas todo, lo no evidente por si mismo, hay que demostrarlo a partir de lo evidente, ¿Dónde está la demostración de que : cero, infinito, “pi”, “e”, etc. son números?, me encantaría conocer esas demostraciones. 

   Cero, cuyo símbolo es “0”, no se puede sumar, ni restar, ni multiplicar, ni dividir, ni es la unidad, no es potencia, ni raíz de otro número; el cero expresa, la nada, a partir de la cual ya hay cosas, sean materiales o inmateriales; lo mismo que las palabras “nada” o “ninguno” se usan para negar la existencia de cosas materiales, “cero” se usa para negar la existencia de un número; de ahí viene : “pintas menos que un cero a la izquierda”.

   Infinito, cuyo símbolo es “∞”, tampoco se puede sumar, ni restar, ni multiplicar, ni dividir, ni es potencia de ningún número, por tanto tampoco puede ser un número.

  Con “pi”, cuyo símbolo es “π”, se pretende sustituir un número natural, imposible de encontrar, por uno artificial, inventado, que no se puede multiplicar por otros números, ni por si mismo, ya que si fuera un número, al menos sería potencia y raíz de otros números,  por lo que al menos dos, de las tres opciones siguientes, o las tres, no son ciertas :

1ª) La cuadratura del círculo es imposible, implica que en : √(π·r²), o no existe "r", o no existe “pi” y como "r" puede ser cuantificado por enteros, no puede existir "pi".

  2ª) Si “pi” fuese un número existirían sus potencias y sus raíces y por tanto un circulo de radio : r = 1/√pi (metros), tiene una  superficie :

s = pi·r² = pi·1/(√pi) = pi/pi = 1 (metro cuadrado)

  3ª) Existen círculos y cuadrados iguales, pero no existe "pi".  

Conclusión : los números gozan de buena salud, para la buena salud de las matemáticas, parece que hace falta algo más que una aspirina, ¡hacen falta matemáticos!.

CUADRATURA del CÍRCULO

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

 Analicemos los números : tres,  cero coma tres, un tercio,  raíz cuadrada de tres, pi y e, cuyos símbolos son : 3, 0,3 , 1/3, √3, Π y e.

   Es evidente que 3 y 0,3 son símbolos de dos números en base diez y que 1/3 y √3, son símbolos de números que no están en base diez, sin embargo esos números existen; ¿existen los números pi y e?.

   Si dividimos el número uno por el número tres tenemos : 1/3 = 0,33333(3)

   Si ahora hacemos la operación inversa tenemos : 0,33333(3) ·3 = 0,99999(9)

   Si multiplicamos el número siguiente tenemos : 0,33333(3)4·3 = 1,00000(0)2

   Es evidente que : 0,33333(3) < 1/3 < 1,00000(0)2  

   Por otra parte siempre un metro, y cualquier longitud, se puede dividir en tres partes exactamente iguales, (es evidente que existe una circunferencia de un metro de longitud y podemos dividirla en tres arcos exactamente iguales,) de donde se deduce que entre dos números consecutivos tenemos longitudes que no se pueden cuantificar con números.

   Es evidente que elegida una longitud como unidad, todo número cuantifica una longitud, pero no todas las longitudes se pueden cuantificar con números.

   Es evidente que √3 metros, (p.ej.) es la longitud del lado de un cuadrado de 3 metros cuadrados de superficie, pero si tratamos de extraer esa raíz tenemos :

1,750 ··· < √3 < 1,751··

   Sin embargo una longitud de √3 metros es tambien un cateto de un triángulo, y el otro cateto y la hipotenusa miden : √2 y √5 metros, las tres longitudes se cuantifican con números irracionales. 

   Los cuatro primeros se pueden multiplicar por si mismos y por otros números, los cuatro son potencias y raíces de otros números y los cuatro cuantifican longitudes, es decir un concepto continuo y lo mismo que cualquier longitud se puede dividir en tres longitudes exactamente iguales, tenemos longitudes de √3 (metros p.ej) exactas. 

   Si admitimos que : e = 1 + 1/1! + 1/2!  + 1/3! + ··· + 1/m! + ···  que es una suma de infinitos “quebrados”, que no se puede cuantificar, es un número, (todos lo admiten, hasta hay una tabla de logaritmos en base “e”), siendo un límite imposible de alcanzar y explicando en las aulas que la ecuación : y = e^x es la ecuación de una curva, el número “e” tiene en común con los cuatro anteriores, el hacho de que es potencia y raíz de otros números, pero es evidente que no es ni la potencia ni la raíz de ningún numero en base diez; se le califica como número trascendente, por tanto si es un número y existen sus potencias y sus raíces : eⁿ y ⁿ√e; la pregunta que hago a los doctores de las santas matemáticas es ¿existe el número “e”?, pues si existe, como decía el profesor Arango “en matemáticas todo hay que lo demostrar”, frase que no se me olvida pues fue a la primera persona que oí decir “lo demostrar” en vez de “demostrarlo”, yo desconozco esa demostración y a mi limitada inteligencia la resulta poco veraz que exista esa demostración.   

   Suponiendo que los santos doctores estén en lo cierto y existen potencias y raíces del número ¿trascendente? “e”, no veo fundamento para, que de “pi” que también es un número ¿trascendente?, no existan : piⁿ y ⁿ√pi, de donde se deduce que tenemos cuadrados de lados "pi" metros y círculos de radio  r = √pi metros y ambas superficies son :

 La del cuadrado : S₁ = pi·sen.90º·pi = (pi)²    

La del círculo  :    S₁ = pi· r² = (pi)².

   La cuadratura del círculo sería evidente.

   Los doctores deberían saber que si es imposible la cuadratura del círculo, el número “pi” no puede existir, por tanto tampoco el número “e”.  

   Supongamos ahora que el número “pi” no existe.

Es evidente que existe una circunferencia de radio “un metro”, y que esa circunferencia es una longitud continua, si la identificamos con la letra “L”, esta longitud es tal que : 2·3,141592··· < L < 2·3,141593··· (metros); la superficie del círculo es tal que : 3,141592··· < S < 3,141593···· (metros cuadrados), que cuantitativamente es 1/2L. 

   En definitiva no existe un número que cuantifique esa longitud “L”, ni superficie "S", ni ninguna de las infinitas longitudes : L ± dL, ni S ± dS, comprendidas entre los dos números consecutivos anteriores, pero es evidente que esas longitudes y superficies existen, y por pequeña que sean dL y dS, en esas diferenciales hay infinitos puntos, sin embargo tanto la longitud L como la superficie S son divisibles por tres y por todos los divisores de 360.

   Es evidente que la longitud de los lados de un cuadrado de superficie “S” igual a la del círculo de radio un metro tampoco se puede expresar con un número, pero en el eje OX hay una longitud “x” y en el eje OY otra igual “y”, (ambas sin número que las cuantifique), tales que :

 x·sen.90º·y = S     (superficie sin un número que la cuantifique)

   La superficie es un concepto continuo y es evidente, (o debiera serlo para cualquier ser inteligente), que existe un círculo de un metro cuadrado, aunque la longitud de su radio  no se puede cuantificar con un número.

CONCLUSIÓN

   La cuadratura del círculo resulta más fiable que en el caso anterior.

   Por si cabe alguna duda, de que existen cuadrados y círculos de superficies iguales, calculemos esas superficies integrando entre cero y uno :

∫ds = ∫∫dx·dy    y    ∫ds = 1/2∫L·dr

   Como dx y dy son independientes :

S = ∫∫dx· dy = ∫x·dy = x·y = 1 metro cuadrado.

S = 1/2∫L·dr = L·r/2 = 1 metro cuadrado

CONCLUSIÓN

   Tanto si “pi” es un número, como si no lo es, la cuadratura del círculo no sólo es posible, parece muy cierta.

   Es evidente que los dos supuestos anteriores no pueden ser verdad, por tanto es preciso determinar cuales de las tres conclusiones son verdaderas e incluso si las tres, son tres falacias y por tanto no es posible la cuadratura del círculo; yo me atrevo a decir la cuadratura del círculo es cierta.

   A pesar de mi corta inteligencia me atrevo a afirmar que “pi” no es un número y  “e” tampoco y que no existe la ecuación : y = e^x, ni la y = (pi)^x, esto es tan evidente que me resulta incomprensible que un ser inteligente admita que un superíndice pueda ser una variable continua, ¿desde cuando un número se puede elevar a una longitud? ¿es posible 5^√7mertros? y no ¿a una superficie, a un volumen, a un ángulo o a √7 vacas?, cuando el superíndice no puede ser función, ni de números, ni de longitudes, ni de ningún otro concepto; sería menos engañoso, para profesores y alumnos : y = x^r, cuando el índice "r" significa que la base se multiplica por si misma, repetidas veces, y que y = xⁿ, debe significar lo mismo, pero todo el mundo admite que "n" es un número, cuando no lo es; ¿por que motivo en : y = x_n , "n" no indica "raíz", y en : y = xⁿ , indica potencia?, cuando en los dos casos  "n"  es un índice totalmente independiente de la base!.

 Doctores debieran tener las matemáticas que debieran responder a esta pregunta!